顧森：中文系里的數學傳奇

張蕾磊

提到顧森，很多人會說：“大牛！”因為，這個留著小胡子、溫文爾雅的男生在北京大學中文系就讀，他開辦了一個數學博客（http：//matrix67.com），八年來一直保持更新，發表了上千篇文章，有上萬人訂閱。顧森的跨界在高中就開始了，因為對化學缺乏學習熱情，在文理分科時，他選擇了文科班。于是，顧森成了全校唯一參加信息學競賽的文科生，比賽主要是考察計算機算法和編程。高二時，顧森和同學們組隊參加當年的全國青少年信息學奧林匹克競賽，坐著車回重慶的路上，老師接到電話后告訴他：被保送北京大學了。

我只是打醬油的數學愛好者

“我不是一個數學家。我甚至連數學專業的人都不是。我是一個純粹打醬油的數學愛好者，只是比一般的愛好者更加執著，更加瘋狂罷了。”顧森說。

顧森從小對智力題或者是任何靈光一現、靈機一動、讓他感嘆“哦，原來是這樣”的東西感興趣。數學常常讓他有“Aha moment”的驚喜和感嘆。高一時，顧森有天在網上看到一個問題：設想一個平面上布滿間距為1的水平直線和豎直直線，形成由一個個單位正方形組成的網格。任意給定一個面積小于1的圖形，證明這個圖形總能放在網格中而不包含任何一個格點。乍看之下，他覺得這簡直就是一個世界級難題，心里毫無思路。他繼續往下看，出人意料的是，整個證明過程只占了不到半個屏幕。顧森還記得當時看完這個證明后，那種無法言表的震撼之感。“這個證明太漂亮了！這可能是我第一次如此強烈地體會到數學證明的美妙。之后，我便有意識地去收集各種精彩的數學證明。這些數學證明的思路一個比一個巧妙，方法一個比一個詭異。”同時，顧森樂于分享，當博客興起時，他非常高興地找到一個記錄趣味數學點滴的工具，他建立了自己的博客，在博客上把搜集到的數學趣題、漂亮的數學定理跟大家分享，將那些恍然大悟的瞬間傳遞給大家。

跟顧森聊數學，他能舉出各種有趣好玩的例子。他經常被文科背景的朋友們問一個問題：數學到底哪里有趣了，數學之美又在哪里？通常顧森會講一些簡單而又深刻的算術游戲，讓每個只會算術的人都能或多或少地體會到一些數學的美妙。比如這個經典數字謎題：用1～9組成一個九位數，使得這個數第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數能被2整除，前三位組成的三位數能被3整除，以此類推，一直到整個九位數能被9整除。顧森會告訴你，真的有這樣猛的數：381 654 729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個數能被9整除。這個數既可以用整除的性質一步步推出來，也可以利用計算機編程找到。顧森還會告訴你另一個有趣的事實是，在所有由1到9組成的362 880個不同的九位數中，381 654 729是唯一一個滿足要求的數！對于顧森來說，數學真正吸引人的地方就在于它本身的美，

在顧森眼中，生活里的很多事情可以通過數學的方法來解釋、解決。比如，我們喝飲料參與開蓋有獎活動時，常常會有被欺騙的感覺：你說中獎率是千分之一，我憑什么相信你呢？顧森就想過一個方法，開蓋后顧客會得到一個參與活動的序列號，把這個序列號短信發送給活動舉辦方參與抽獎。此時，活動舉辦方的服務器從1到1000中隨機生成一個整數，并把這個整數加上你指定的前綴和它自選的前綴，用公開的單向加密方法加密后發回給你。你需要猜出服務器生成的數是什么，如果猜對就能中獎，如果猜錯就結束游戲。發送了你的猜測結果后，服務器將發來加密前的信息，確保自己沒有撒謊。這就是密碼學協議問題，借助加密解密的數學算法構建安全措施和防欺騙條約。

對數學熱愛的背后是求知的熱情和思考的樂趣。顧森發在博客上的每一篇文章都是經過深思熟慮、仔細推敲的，認真嚴謹的他在發表之前會逐字逐字校對，他無法容忍有一個錯別字。在介紹種種精妙的趣題和證明時，顧森往往會改變證明步驟的順序和語言表述的方式，以順應人的直觀思維方式，他一定要把證明的巧妙性和啟發性表現出來。

很多人被他的博客上有趣、精美的數學圖形而吸引，顧森坦承：“畫圖很花時間，我追求完美。很多人給我發郵件或者網上留言，問得最多的是這些圖怎么畫的，用什么工具畫的。我的回答是：我不是用一個工具，是用很多不同工具。調了修、修了改，有些要編程，這些技巧都是慢慢積累的。”

學習有趣的東西，用博客教有趣東西

和顧森聊天時，聽完提問后他會低頭整理思路，然后“第一……第二……第三……”地回答，說第一點的時候扯遠了，他說完一個段落后就會回到原來的話題，從第二點開始講起。顧森說：“我自己知道，說文科生其實我是不合格的。現在我的體會是，學政治、歷史、地理，如果你真的學對了，真的學習到那些有趣的東西，是挺好玩的。”

事實上，顧森2007年到北大中文系報到時，并不了解自己就讀的應用語言學專業。這是北大2002年開設的文理兼收專業，要學信息科學技術學院開設的高等數學、程序設計等課程，也要學中文系開設的應用語言學專業課程。“我完全不知道學什么，但是學了很喜歡，應用語言學是理科的一套方法，有很多非常有意思的事情。”顧森笑著說。

向來愛思考的顧森，在專業學習過程中有很多發現，他現在特別留意語言學現象。有次，顧森在餐廳吃飯，看到宣傳資料上的文案寫著：農殘檢測高于國家標準。他就笑了：“不是什么東西高于標準都是好事，但是我轉念一想，改成低于也不好。問題就來了，怎么改？”當時顧森并沒有想到太好的修改，就把問題留著。一周后，他又去那里吃飯，看到文案已經改過了。“我問過很多人，怎么改？不同人有不同的想法，有人說優于、好于，這些都不好。餐廳改得非常漂亮：嚴于。看到他們的改法后，我馬上意識到，語文教學的目的應該是教會學生聽說讀寫的能力，這才是語文考試真正該考的東西。”顧森強調這不是咬文嚼字，語文不是只教你怎么寫怎么念，那樣反映不了語文水平。

思考之余，顧森一直有著豐富的實踐。高三被保送后他就擔任了學校信息學競賽的小教員，指導高一高二的學生。在北京上學后，顧森在培訓機構兼職數學教學工作。他常常思考應該教什么，不該教什么，無論是數學還是語文、物理等科目，顧森堅信教學的目的只有一個：讓學的人思考。

在課堂上，顧森從來不會照本宣科。他給學生設計問題時的自我要求是：題本身要吸引人，不包含任何數據；問題描述足夠簡單，簡單到不需要任何紙筆記錄，一聽就懂，可以在任何時候，不需要草稿紙，走在路上就可以去想；要足夠好玩，吸引人，可能跟生活比較貼近，或者跟數學的某個結論相關。顧森舉例，A、B兩地，出租車從A往B開，你在路上的某一位置。常規假設：出租車是空車、你肯定能打上、車的速度比你快等。提問：為了盡可能快地到達目的地，你應該怎么辦？兩種思路，一派認為應該迎著車往A方向走，理由是，車的速度比人快，要盡可能利用車的速度，所以要提前上車。另一派認為應該順著車往B方向走，理由是人和車都馬不停蹄地往一個方向走，不浪費任何時間。

顧森班上的課堂討論，學生們向來是放聲討論的，激動了可以拍桌子。他要求學生們討論時盡可能想辦法說服別人，即使自己是錯的。顧森看重這樣的能力。討論結束后，不同觀點的小組派代表講解思路。“學生們為了說服別人會講得千奇百怪，其中涉及了很多東西，首先是數學直覺，然后是表達能力。有的人在黑板上寫了、講了，我懂他的意思，但是大家都沒懂，需要我再敘述。”顧森說，“另外就是數學的分析和計算能力。班上曾經有個小孩很巧妙地說服了所有人。兩種方法沒有優劣之分，實際上是一樣的。這個小孩假設了路程、人的速度、車的速度，取了幾種不同的選擇，分別算出相遇的時間、車追上人的時間，他算出兩種辦法花的時間結果是一樣的。這是一個最基礎的數學方法，你不知道誰對誰錯，帶著數字進去算就可以了。現在數學教育悲哀的地方在于，居然很少有人想到用這樣的辦法把答案找出來。”

針對例題，顧森解釋，這是尋找不變量的數學題，答案非常簡單，兩個方案所需要的時間，顯然是一樣的。你只需要站在車的角度去想，不管人在哪里上車，車都是從A到B，最多加上中途接人的時間，不管人往哪邊走，車到達的時間一樣，所以不論哪個方法需要的時間一樣。其實，顧森還故意留了一個漏洞，需要排除一種情況：人離B的距離太近了，以至于車還沒有追上人，人已經到達終點了。顧森期待有學生來質疑，等著學生下課來問。“我希望找到這樣的人，能質疑老師，質疑課本，質疑權威、專家。我覺得這都是數學能力。”

雖然在博客里寫教科書出現的種種錯誤、關心教育改革的進程，顧森并不憤青，他有心用全新的眼光重看所有的定義和定理，重新寫一份中學的數學教材，具有可讀性，打破只講成套的理論體系，先定義再證明的套路。“我多次跟人說起，我的人生理想就是，希望有一天能學完數學中的各個分支，然后站在一個至高點，俯瞰整個數學領域，真正體會到數學之美。但是，想要實現這一點是很困難的。最大的困難就是缺少一個學習數學的途徑。”

顧森認為學習數學的過程，應該和人類認識數學的過程一樣，從古人計數開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，了解每個數學分支創立的動機，以及這個分支曲折的發展歷程。應該在學習中體會到數學發展的每個瓶頸、每個全新理論的偉大之處，體會每一次數學危機讓數學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。顧森坦言他沒有找到任何用這種方式學習數學的途徑，所以他會花功夫去領悟，然后寫出來。

一有時間就學新東西

“大學里自發學習的精神，現在是越來越少了。”顧森感慨。尤其是同學們都忙著考研、留學、考公務員，四年里忙著追求績點和學分，讀書的功利性非常強。顧森告訴記者，清華大學有一個小范圍的學習小組，幾個人每周在一起分享自己很感興趣在學的東西。“我覺得挺感人的，他們是希望在大學里重新點燃自我學習、自由學習的精神。學習大家都會，但是，你不只學老師告訴你要學的東西，還選擇性地學習自己想學的東西，甚至能夠選擇性地不學老師讓你學習的東西，我覺得這樣的精神是非常難能可貴的。”顧森知道這個小組后，很快地融入其中，參加討論會，頗有收獲。讓他遺憾的是學習小組是完全內部的分享會，他希望有了學習的心得后能夠在更大的場合分享，讓更多人知道，比如放在網絡上。但是，小組成員不支持這么做。事實上，這樣的一次交流活動是需要付出大量學習時間的。你可能花兩天時間學習并且體會到了某些知識，但是要寫出來或者講出來讓所有人都明白，可能要再花三五天的時間。很多人覺得花費時間和精力，自己體會到學科的美、科學的魅力就可以了，顧森則是“多了一份心”，他要講出來，讓大家都知道。這也是他堅持寫博客的原因之一。“看到別人對于我的分享由衷地感嘆：啊，這太巧妙了！看到這樣的表情，即使是文字的回復，我也覺得是一種成就感。”顧森笑說。

現在，顧森樂于參加演講和座談。他在Open Party講“與算法有關的三個故事”，在萬有青年燴講“這該死的聲調”，在南開大學TEDx講教育現狀等等。比起純粹的寫作，顧森更喜歡面對面地與人們交流，演講時的他動作豐富，頗有激情，現場總是驚嘆、歡笑、掌聲一片。讓顧森頗為得意的是，他去演講從來不排練，總能在規定時間內完美結束。“這是有訣竅的，PPT的最后一頁要留些內容，是你能就著PPT來講的，時間到了就結束，時間沒到就接著講。”顧森說，“我還能做到，不論什么時候結束都會有個圓滿的句子，就像是原本就該這么說的。”說到這里，他忍不住要表揚下自己。事實上，這也得益于顧森在數學教學中的課堂，積累了大量實踐得來的技巧。顧森演講的效果總是非常好，他善于從特別小的切入點吸引大家，講了一圈后又回到出發點。顧森在公開場合講的東西一定是他非常熟悉的，已經琢磨透了想明白的，新東西他不敢講，一方面是對聽眾負責，另一方面是爛熟于心的內容才能站在比較高的位置講，適合普及。

顧森很慶幸自己對數學有如此濃厚的興趣，他說：“有些人覺得自己不快樂、不成功或者說沒有找到方向，可能是他一直沒有找到生下來就決定他會感興趣的那樣東西，辦法就是多嘗試。”數學上的未解之謎多著呢，顧森永遠不愁沒有事情做，但是，他還有更大的心愿，體驗各行各業的新東西，所以一有時間他就學新東西。

雖然從來沒有主動參加工作，但是顧森不會拒絕機會。他受邀加入數學教學工作，既賺到生活費也對教學有了更多思考和實踐；他在果殼網工作的那段時間，見證了網站從零到上線到發展的過程，了解到網站運營、編輯等的具體工作和思路；他受邀在人人網實習，充分發揮專業所學，完成了《互聯網時代的社會語言學：基于SNS的文本數據挖掘》。顧森不給自己做計劃，他愿意嘗試各行各業，去做各種事情。“不是每個人都能想到以后要干什么的。”顧森說，“我一直是這樣，沒有主動去想過做任何事情，都是時機來了，各種原因促使我做。”當然，前提是有積累、有準備，這個準備就是你在自己有興趣做的事情上做得夠多、夠深入。