《復變函數與積分變換》教學淺談

羅寧

摘 要：《復變函數與積分變換》作為高等院校相關專業的數學必修課，本文結合教學實踐，從強調歷史、以“熟”帶“新”、實例教學、MATLAB應用等四個方面對教學內容、手段、方式進行了研究和探討。

關鍵詞：復變函數與積分變換 教學實踐 改革

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0184-01

《復變函數與積分變換》作為高等院校力學、自動化、通信工程、測控技術與儀器等相關專業開設的數學公共課，它既是一門理論基礎課同時也是解決實際問題的有力工具，在其后續專業課程學習中有著非常重要的應用。該課程的內容特點是概念抽象、理論性強，涉及其它數學學科知識多為重點、難點（如高等數學中的曲線積分、級數等），同時淺顯易懂的應用實例較少，這些都對我們的教學帶來很大的困難。特別，針對當下大學理工科教學中以應用性作為著力點的背景，結合筆者所在學校《復變函數與積分變換》教改經驗，我們在教學中做了積極有益的探索和實驗，取得了較好的效果。

1 強調歷史

不能孤立的講授《復變函數與積分變換》課程，作為一門數學學科，我們特別強調在授課中補充該課程數學史知識， 特別是學科產生背景和成熟歷程，因為對于這些知識的了解可以讓學生了解課程的發展思路，起到“知識再現”的作用，實現較快“入門”并建立和完善學科知識體系，同時也強化了學生對關聯學科的了解，加深了數學認知，進而培養起良好的數學素養。例如，早在1545年，意大利卡爾丹解三次方程（代數問題）時，首先產生復數開平方的思想。17世紀到18世紀，復數開始有了幾何解釋，把它與平面向量對應起來解決實際問題（幾何問題）。19世紀以后，隨著對實分析的認識深入，柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯等人進一步拓展了復分析，從而形成了今天的復變函數論，在這個過程中，我們看到代數、物理、數學分析等相關學科給予它的促進和交互發展。同時，相關數學家的故事也不失為好的勵志典型，達到教書育人。

2 以“熟”帶“新”

從知識遷移的角度看，大學三門數學工具課《高等數學》延續了中學數學對函數的研究、《概率論與數理統計》中古典概型內容中學就有涉及且主要應用排列組合知識、《線性代數》中依然把線性方程組作為主要研究對象，對于這一點，我們看到在《復變函數與積分變換》概念中不乏復數、極限、連續、級數這樣的“老面孔”，重要的是復變函數的解析性也和實值函數可導（即滿足柯西—黎曼方程）相關，心理學家奧蘇伯爾就把學生原有的認知結構看成是實現遷移的最關鍵因素，因此，這些“熟”內容一方面可以增加學生學習的興趣，同時也對他們適應新的知識體系起到穿針引線作用。

3 實例教學

強調實例教學是我們教學實踐中的重要突破，我們在教學中盡可能的將課程中的相關概念與相應專業中的術語相結合，同時穿插一些應用實例作為課堂教學的補充，取得了很好的教學效果。例如，在信號處理上，模值|z|就表示信號的幅度，輔角arg（z）表示給定頻率的正弦波的相位，利用傅里葉變換可將實信號表示成一系列波的周期函數的和，這些周期函數均為復變函數，現實中，我們使用手機短信、移動電話都是它的應用。

4 MATLAB應用

復變函數中涉及很多復雜數值計算問題，引入MATLAB計算，可以加深理解，培養學生應用能力。下面我們來砍兩道簡單應用。

（1）求復數的實部，虛部，輻角，模，共軛復數。

解：在MATLAB命令對話窗口輸入下列命令：

>> A=i^9+3*i^7+i+3

>> real（A）

ans = 3

>> imag（A）

ans =-1

>> angle（A）

ans =-0.3218

>> abs（A）

ans =3.1623

>> conj（A）

ans =3.0000 + 1.0000i

（2）計算積分，積分路徑C是連接由0到的線段。

解：由C的參數方程為：

≤≤

，由參數方程法得：

下面利用MATLAB來求積分：

>>syms t；

>> int（（t+i*t+i*t^2）*（1+t），0，1）

ans =5/6+17/12*i

本文依據《復變函數與積分變換》的課程特點，同時結合教學實踐，在教學內容、形式、方式上做了有益探討。希望藉此，進一步探索工科數學課程應用化教學的課堂設計。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 復變函數與積分變換編寫組.復變函數與積分變換[M].北京：北京郵電大學出版社，2011.