“命題的否定和量詞的應(yīng)用”分析

李志強(qiáng)

摘 要：在全日制普通高中新教材中增加了“簡(jiǎn)易邏輯”這一章節(jié)，本章節(jié)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力會(huì)起到很大的作用.但由于在對(duì)命題進(jìn)行否定時(shí)，忽略了其中的“量詞”，產(chǎn)生了某些認(rèn)識(shí)上的偏差.下面將針對(duì)“命題的否定”作簡(jiǎn)要的分析.

關(guān)鍵詞：命題的否定

[中圖分類號(hào)]：G426 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]：A

[文章編號(hào)]：1002-2139（2013）-9-0-01

一、三種命題形式

表示數(shù)量的詞稱為量詞.表示整體的全部的叫做全稱量詞，常用的如“所有”、“一切”、“每一個(gè)”和“任意一個(gè)”等；表示整體的一部分的叫做存在量詞，常用的如“有些”、“至少有一個(gè)”和“存在”等.

根據(jù)描述主項(xiàng)的量詞，命題可分為：

全稱命題，一般地，設(shè)是某集合的所有元素都具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對(duì)中的所有，”的命題。用

存在性命題，一般地，設(shè)是某集合的有些元素具有的某種性質(zhì)，那么存在性命題就是形如“存在集合中的元素，”的命題。

特別地，主項(xiàng)為特定的單個(gè)個(gè)體的命題，稱為單稱命題，其形式為“是（不是）”，其否定為“不是（是）”.

二、命題的否定

設(shè)是一個(gè)命題，“不成立”即為對(duì)命題 的否定（非）.

1、全稱命題的否定

全稱命題可用符號(hào)記為“，”

全稱命題其否定為“存在不是（是）”，即“至少有一個(gè)不是（是）”，全稱量詞常可省略；

例1 寫出下列命題的否定

（1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有；

（2）所有的矩形都是平行四邊形；

（3）各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)，能被3整除.

（4）每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

（5），的個(gè)位數(shù)不等于7。

（6）三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和；

解析：每個(gè)命題都含有全稱量詞，所以都為全稱命題，首先將全稱量詞“任意的”、“每一個(gè)”、“ ”改為存在性量詞“存在”、“存在一個(gè)”、“ ”，然后否定性質(zhì)即可。

其否定分別為：

存在實(shí)數(shù)，有

“存在一個(gè)矩形不是平行四邊形”

有些各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)，不能被3整除”.

存在一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓。

，的個(gè)位數(shù)等于7.

（6）存在一個(gè)三角形，它有一個(gè)外角不等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和；

評(píng)注：從命題形式看，全稱命題的否定是存在性命題

2、存在性命題的否定

存在性命題可用符號(hào)記為“，”，其否定命題為“，”。

例2：寫出下列命題的否定：

（1）有些負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)；

（2）某些梯形是平行四邊形形；

（3），。

（4）存在一個(gè)矩形，它的四邊相等

解析：每個(gè)命題都含有存在性量詞，所以都為存在性命題，首先將存在性量詞 “有些”、“某些”、“ ”改為全稱量詞“所有”、“每一個(gè)”、“” ，然后否定性質(zhì)即可。其否定分別為：

（1）所有負(fù)數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)；

（2）每一個(gè)梯形都不是平行四邊形；

（3） ， 。

（4）任意一個(gè)矩形，它的四條邊不全相等.

評(píng)注：從命題形式看，存在性命題的否定是全稱命題。

3、單稱命題的否定

單稱命題的形式為“是（不是）”，其否定為“不是（是）”.

例3、寫出下列命題的否定：

（1）碳是黑色的；

（2）方程有解；

存在一個(gè)實(shí)數(shù)：命題⑴、⑵是單稱命題，故其否定分別為“碳不是黑色的”和“方程無(wú)解”

4.命題“若……則……”的否定是什么

“若則”的否定是“且非”；

“對(duì)于任意的，若則”（“對(duì)于任意的”常省略）的否定是“存在，且非”，即只要能否定符合條件的一種情況即可，而不是對(duì)符合條件的所有情況加以否定，亦即“對(duì)于任意的，若則”的否定應(yīng)該是“存在使成立而不成立的情況”.

例2 寫出下列命題的否定

（1）若明天下雨，則我不去呼和浩特；

（2）若方程有實(shí)根，則太陽(yáng)繞著地球轉(zhuǎn)；

（3）若方程有實(shí)根，則.

（4）若是奇數(shù)，則是偶數(shù).

分析：命題（1）、（2）是“若則”形式的命題，故其否定分別為“明天下雨且我去呼和浩特”和“方程有實(shí)根且太陽(yáng)不繞著地球轉(zhuǎn)”；命題（3）、（4）省略了全稱量詞，補(bǔ)完整后分別為“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，若方程有實(shí)根，則”和“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)”，都是“對(duì)于任意的，若則”形式的命題，故其否定分別為“存在實(shí)數(shù)，使得有實(shí)根且”和“存在實(shí)數(shù)，使得是奇數(shù)且不是偶數(shù)”.

結(jié)論：看到“若……則……”的命題要在理解語(yǔ)意的基礎(chǔ)上，判斷是否是省略了全稱量詞的情況，再加以否定。

總之，要想寫出命題否定的正確形式，一定要分析清楚命題中的量詞。含有一個(gè)量詞的全稱命題和存在性命題的否定有如下結(jié)論：存在性命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是存在性命題。