由“彈簧模型”考點展望高考

沈金城

彈簧是一種常見的物理模型，幾乎每年高考都對這種模型有所涉及，且作為壓軸題加以考查。它涉及的物理問題較廣，有平衡類問題、運動的合成與分解、圓周運動、簡諧運動、做功、能量、帶電粒子在復合場中的運動，以及臨界和突變等。為了使學生對這類問題有進一步的深入了解，現歸納整理如下，使學生在高考中不為求解這類考題而憂愁。

一、物理模型

輕彈簧是不計自身質量，能產生沿軸線的拉伸或壓縮形變，故產生向內或向外的彈力。

二、模型力學特征

輕彈簧既可以發生拉伸形變，又可以發生壓縮形變，其彈力方向一定沿彈簧方向，彈簧兩端彈力的大小相等，方向相反。

三、彈簧物理問題

1.彈簧平衡問題：抓住彈簧形變量、運動和力、促平衡、列方程。

2.彈簧模型應用牛頓第二定律的解題技巧問題：

（1）彈簧長度改變，彈力發生變化問題：要從牛頓第二定律入手先分析加速度，分析物體運動規律。物體的運動導致彈力的變化，變化的規律影響新的運動，由此畫出彈簧的幾個特殊狀態（原長、平衡位置、最大長度）尤其重要。

（2）彈簧長度不變，彈力不變問題：當物體除受彈簧本身的彈力外，還受到其他外力時，當彈簧長度不發生變化時，彈簧的彈力是不變的，也就是形變量不變，抓住這一狀態分析物體的受力問題。

（3）彈簧中的臨界問題：當彈簧的長度發生改變導致彈力發生變化的過程中，往往會出現臨界問題。如“兩物體分離”、“離開地面”、“恰好”、“剛好”……這類問題找出隱含條件是求解本類題型的關鍵。

3.在求彈簧的彈力做功時，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進行計算，也可以據動能定理和功能關系：能量轉化和守恒定律求解。同時要注意彈力做功的特點：W■=-（■kx■■-■kx■■），彈力的功等于彈性勢能增量的負值。因此在求彈力的功或彈性勢能的改變時，一般以能量的轉化與守恒的角度求解。

四、實例分析

1.與物體平衡相關的彈簧問題

例1：如圖，質量分別為m■、m■通過輕彈簧連接，在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動（m■在地面，m■在空中），力F與水平方向成θ角，則m■所受支持力N和摩擦力f正確的是（ ）

A.N=m■g+m■g-Fsinθ B.N=m■g+m■g-Fcosθ

C.f=Fcosθ D.f=Fsinθ

分析：根據題意有對兩者用整體法，因在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動，得水平和豎直方向受力平衡，所以豎直方向N=m■g+m■g-Fsinθ，故A正確，水平方向f=Fcosθ，故C正確，答案為AC。

2.與動力學相關的彈簧問題

例2：如圖，輕彈簧上端與一質量為m的木塊1相連，下端與另一質量為M的木塊2相連，整個系統置于水平放置的光滑木板上，并處于靜止狀態.現將木板沿水平方向突然抽出，設抽出后的瞬間，木塊1、2的加速度大小分別為a■、a■。重力加速度大小為g，則有（ ）

A.a■=0，a■=g B.a■=g，a■=g

C.a■=0，a■=■g D.a■=g，a■=■g

分析：在抽出木板的瞬時，彈簧對1的支持力和對2的壓力并未改變。對1物體受重力和支持力，mg=F，a1=0；對2物體受重力和壓力，根據牛頓第二定律a=■=■g。故答案為C。

3.與能量相關的彈簧問題

例3：如圖（甲）所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平面上，t =0時刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點，然后又被彈起離開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復。通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈簧彈力F隨時間變化的圖像如圖3（乙）如示，則（ ）

（甲） （乙）

A.t■時刻小球動能最大

B.t■時刻小球動能最大

C.t■～t■這段時間內，小球的動能先增加后減少

D.t■～t■這段時間內，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能

分析：小球在接觸彈簧之前自由落體，碰到彈簧后先做加速度不斷減小的加速運動，當加速度為零即重力等于彈簧彈力時加速度達到最大值，而后往下做加速度不斷增大的減速運動，與彈簧接觸的整個下降過程，小球的動能和重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。上升過程恰好與下降過程互逆。由乙圖可知t1時刻開始接觸彈簧；t■時刻彈力最大，小球處在最低點，動能最小；t■時刻小球往上運動恰好要離開彈簧；t■～t■這段時間內，小球的先加速后減速，小球的動能先增加后減少。故答案為C。

4.應用型問題

例4：如圖所示，在固定的足夠長的光滑斜面上，一小物塊用細繩通過光滑滑輪與輕質彈簧的一端相連，彈簧另一端固定在水平地面上，細繩與斜面平行，小物塊在A點時彈簧無形變，細繩剛好伸直但無拉力。把質量為m的該小物塊從A點由靜止釋放，它下滑■距離時經過B點速度最大，繼續下滑■距離到達C點時速度恰好為零。斜面的傾角為θ，彈簧處于彈性限度內。（重力加速度為g）求：

（1）小物塊剛被釋放時加速度a■的大小和方向；

（2）小物塊經過B點時彈簧彈力F的大小，以及到達C點時彈簧的彈性勢能E■；

（3）若小物塊的質量為2m，仍從A點由靜止釋放，求該物塊運動的最大速度vm的大小（彈簧仍處于彈性限度內）。

分析：（1） 由牛頓第二定律得 mgsinθ = ma■①

a■ = gsinθ 方向沿斜面向下 ②

（2） 設小物塊經過B點時細繩對物塊的拉力為T，由平衡條件得

T = mgsinθ 又F=T F=mgsinθ ③

由機械能守恒定律得E■= mgLsinθ ④

（3） 設勁度系數為k，質量為m的小物塊運動到B點時的彈簧伸長量

x■ =■ ⑤

由平衡條件得 kx■ = mgsinθ ⑥

設新平衡位置與A點的距離為x■，質量為2m的小物塊運動到新平衡位置時速度最大，由平衡條件得

kx■ = 2mgsinθ ⑦

由⑤⑥⑦式得 x■=L=2x■，即新的平衡位置位于C點 ⑧

由機械能守恒定律得 2mgLsinθ = E■ +■×2mv■■ ⑨

由④⑨式得 υ■=■ ⑩