向量方法在立體幾何教學中的應用

肖慧

摘 要： 向量是一種既有大小又有方向的量，它既具有數的特性又有形的特性，因而它成為聯結數和形的有力紐帶.根據向量的數形特性，將幾何圖形數量化，并通過運算解決立體幾何中的平行、垂直、求距離、求角度等問題，可以避免構圖和推理的復雜過程，減少解題瑣碎的技巧，降低題目的難度.

關鍵詞： 向量 立體幾何教學 數形結合

在目前的立體幾何教學中，傳統的綜合方法仍占主導地位，絕大多數學生仍然沿用這種方法處理立體幾何問題，難度比較大.實際上利用向量的方法處理立體幾何的空間問題比傳統的綜合方法有著明顯的優勢，特別是空間兩直線平行，垂直的證明，角度與長度的計算問題，可以避免構圖和推理的復雜過程，減少了解題的瑣碎技巧，降低了題目的難度.

一、利用向量證明平行問題

1.設a、b為兩條不重合的直線，■、■分別為直線a、b的一個方向向量，那么a∥b∥？圳■∥k■.

根據實數與向量的積的定義

■∥■？圳■=k■（k∈R，k≠0）

已知直線L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0，L■與L■不重合，證明：L■∥L■.

證明：∵L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0

∴L■的方向向量■=（5，3）

L■的方向向量■=（10，6）

∴■=2■

∴L■∥L■

2.直線與平面平行可轉化為直線的方向向量與平面的法向量的垂直，也可用共面向量定理證明線面平行問題.

如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別是對角線AC和BF上的動點，且AM=FN，求證：MN∥平面BEC.

本題可建空間直角坐標系求解，利用坐標運算解決問題.這樣處理比較直觀，便于理解掌握.

如圖所示，以點A為原點，以AF，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz.

設AB=a，則點B、C、E、F的坐標分別為（0，a，0），（0，a，a），（a，a，0），（a，0，0）.

設點M的坐標為（0，t，t），則由于AM=FN，那么點N坐標為（a-t，t，0），

因此■=（a-t，0，-t），■=（0，0，-a），■=（a，0，0），

∴■=■■+■■，

∴■，■，■共面，

∵直線MN不在平面BCE內，

∴MN∥面BCE.

二、利用向量證明垂直問題

向量解決解析幾何問題最理想的情形是題中有“垂直”，“垂直”可以在結論中，也可以在條件中，此時用向量的優越性非常明顯地體現在：兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”的內涵淋漓盡致地體現在一個等式中，從而有效地回避解析幾何中錯綜復雜的位置關系的演化，而變為純粹的運算，其實只要看做向量問題時，所涉及的向量易于用坐標表示就足夠了，即使是一般角也未嘗不可，甚至有關距離的題目，也都可用向量知識解決.

空間線線、線面、面面垂直關系，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題.

1.“線線垂直”可以轉化為“向量垂直”.

設■、■分別是直線a、b的一個方向向量，那么a⊥b？圳■⊥■？圳■·■=0

■·■=（a-t，0，-t）·（0，a，0）=0

∴■⊥■即MN⊥AB

2.線面垂直問題.

如圖所示，在正方體ABCD-A■B■C■D■中，O為AC與BD的交點，G為CC■的中點，試用向量的方法證明：A■O⊥平面GBD.

解析：本題主要考查向量的分解，向量數量積運算，線面垂直的判定定理等知識.

設■=■，■=■，■=■

由已知■·■=0，■·■=0，■·■=0

|■|=|■|=|■|

而■=■+■=■+■（■+■）

=-■+■（■+■）

■=■-■=■-■

■=■+■=■（■+■）+■■=■（■+■+■）

∴■·■=[■（■+■）-■]·（■-■）=■（|■|■-|■|■）=0

■·■=[■（■+■-■）]·[■（■+■）+■■]

=■（■+■-2■）·（■+■+■）=■（|■|■+|■|■-2|■|■）=0

∴A■O⊥BD，A■O⊥OG，又BD∩OG=O

∴A■O⊥平面BDG

本題若從線面關系入手，思維過程相對比較復雜.但從向量的角度考慮，思維過程則簡單得多，借助于向量的數量計算，只需要證A■O與平面BGD中的任意兩條相交直線所在的向量的數量積為0即可，簡化了思維過程，體現了向量的優越性.

3.“面面垂直”可以轉化為“向量垂直”.

設■，■分別為平面α、β的一個法向量，那么α⊥β？圳■⊥■？圳■·■=0.

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A■B■C■D■中，底面邊長為■，側棱長為■，E、F分別為AB■、B■C的中點，求證：平面D■EF⊥平面AB■C.

解：把正四棱柱如右圖放置在坐標系中，則各點坐標為：

A（■，0，0），C（0，■，0）

B■（■，■，■），D■（0，0，■）

E（■，■，■），F（■，■，■）

假設平面AB■C的法向量為■=（1，λ■，u■），則■應垂直于■和■，而

■=（-■，■，0），■=（0，■，■）

∴■·■=-■+■λ■=0

∴■·■=■λ■+■u■=0

∴λ■=1，u■=-■

∴■=（1，1，-■）

再假設平面D■EF的法向量為■=（1，λ■，u■），則■應垂直于■，■.而

■=（■，■，-■），■=（■，■，-■）

∴■·■=■+■λ■-■u■=0，■·■=■+■λ■-■u■=0

∴λ■=1，u■=■

∴■=（1，1，■）

∵■·■=1+1-■·■=1+1-2=0

∴■⊥■

∴平面D■EF⊥平面AB■C.

三、利用向量求解空間角問題

空間角包括兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的角等，是高中教學的重點，傳統方法求解異面直線夾角時，一般要選取異面直線中某一條直線上的一個特殊面作另一條直線的平行線，但有時候，為了找到易于計算的平行線，往往要費一番心思構造輔助面、輔助體，有時候會感到無從下手.

向量在解決這類問題時顯現出強大的優勢，不需要將構成角的兩邊線段“移到”同一平面內，只需要確認這兩條線段構成所求角的兩邊即可，應用兩個向量數量積的公式就可以求解.

設直線AB和平面α所成的角θ，則sinθ=■，其中■為平面α的法向量.

如圖所示，正三棱柱ABC-A■B■C■的底面邊長為a，側棱長為■a，求AC■與側面ABB■A■所成的角.

解：如圖所示，以點A為坐標原點O，以AB所在直線為y軸，以AA■所在直線為z軸，以經過原點且與平面ABB■A■垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標系，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A■（0，0，■a），C■（-■a，■a，■a）.

取A■B■的中點M，則有M（0，■a，■a），連接AM、MC■，有■=（-■，0，0），且■=（0，a，0），■=（0，0，■a）.

因為■·■=0，■·■=0，

所以■⊥面ABB■A■，所以■為面ABB■A■的一個法向量.

又因為■=（-■a，■a，■a），■=（-■a，0，0），

所以|■|=■a，|■|=■a.

設AC■與側面A■B所成的角為θ，則

sinθ=■=■，

所以AC■與側面ABB■A■所成的角為30°.

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，向量本身就是一個數形結合的產物，它是溝通代數、幾何、三角的一種工具，具有豐富的實際背景.華羅庚關于“數形結合”有一句名言：“數缺形時少直觀，形離數時難入微.”數形結合是數學中非常重要的思想和解決問題的常用策略.利用向量方法研究立體幾何問題，避免了傳統幾何方法中繁瑣的推理及論證，充分體現出數學中數與形這二元結合、相輔相成的基本內涵和本質特征，大大提高了學生解決立體幾何問題的能力.