向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

肖慧

摘 要： 向量是一種既有大小又有方向的量，它既具有數(shù)的特性又有形的特性，因而它成為聯(lián)結(jié)數(shù)和形的有力紐帶.根據(jù)向量的數(shù)形特性，將幾何圖形數(shù)量化，并通過運(yùn)算解決立體幾何中的平行、垂直、求距離、求角度等問題，可以避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，減少解題瑣碎的技巧，降低題目的難度.

關(guān)鍵詞： 向量 立體幾何教學(xué) 數(shù)形結(jié)合

在目前的立體幾何教學(xué)中，傳統(tǒng)的綜合方法仍占主導(dǎo)地位，絕大多數(shù)學(xué)生仍然沿用這種方法處理立體幾何問題，難度比較大.實(shí)際上利用向量的方法處理立體幾何的空間問題比傳統(tǒng)的綜合方法有著明顯的優(yōu)勢，特別是空間兩直線平行，垂直的證明，角度與長度的計(jì)算問題，可以避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，減少了解題的瑣碎技巧，降低了題目的難度.

一、利用向量證明平行問題

1.設(shè)a、b為兩條不重合的直線，■、■分別為直線a、b的一個(gè)方向向量，那么a∥b∥？圳■∥k■.

根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義

■∥■？圳■=k■（k∈R，k≠0）

已知直線L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0，L■與L■不重合，證明：L■∥L■.

證明：∵L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0

∴L■的方向向量■=（5，3）

L■的方向向量■=（10，6）

∴■=2■

∴L■∥L■

2.直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的垂直，也可用共面向量定理證明線面平行問題.

如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別是對角線AC和BF上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=FN，求證：MN∥平面BEC.

本題可建空間直角坐標(biāo)系求解，利用坐標(biāo)運(yùn)算解決問題.這樣處理比較直觀，便于理解掌握.

如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AF，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

設(shè)AB=a，則點(diǎn)B、C、E、F的坐標(biāo)分別為（0，a，0），（0，a，a），（a，a，0），（a，0，0）.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t，t），則由于AM=FN，那么點(diǎn)N坐標(biāo)為（a-t，t，0），

因此■=（a-t，0，-t），■=（0，0，-a），■=（a，0，0），

∴■=■■+■■，

∴■，■，■共面，

∵直線MN不在平面BCE內(nèi)，

∴MN∥面BCE.

二、利用向量證明垂直問題

向量解決解析幾何問題最理想的情形是題中有“垂直”，“垂直”可以在結(jié)論中，也可以在條件中，此時(shí)用向量的優(yōu)越性非常明顯地體現(xiàn)在：兩個(gè)向量垂直的充要條件可以把“垂直”的內(nèi)涵淋漓盡致地體現(xiàn)在一個(gè)等式中，從而有效地回避解析幾何中錯(cuò)綜復(fù)雜的位置關(guān)系的演化，而變?yōu)榧兇獾倪\(yùn)算，其實(shí)只要看做向量問題時(shí)，所涉及的向量易于用坐標(biāo)表示就足夠了，即使是一般角也未嘗不可，甚至有關(guān)距離的題目，也都可用向量知識(shí)解決.

空間線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問題.

1.“線線垂直”可以轉(zhuǎn)化為“向量垂直”.

設(shè)■、■分別是直線a、b的一個(gè)方向向量，那么a⊥b？圳■⊥■？圳■·■=0

■·■=（a-t，0，-t）·（0，a，0）=0

∴■⊥■即MN⊥AB

2.線面垂直問題.

如圖所示，在正方體ABCD-A■B■C■D■中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC■的中點(diǎn)，試用向量的方法證明：A■O⊥平面GBD.

解析：本題主要考查向量的分解，向量數(shù)量積運(yùn)算，線面垂直的判定定理等知識(shí).

設(shè)■=■，■=■，■=■

由已知■·■=0，■·■=0，■·■=0

|■|=|■|=|■|

而■=■+■=■+■（■+■）

=-■+■（■+■）

■=■-■=■-■

■=■+■=■（■+■）+■■=■（■+■+■）

∴■·■=[■（■+■）-■]·（■-■）=■（|■|■-|■|■）=0

■·■=[■（■+■-■）]·[■（■+■）+■■]

=■（■+■-2■）·（■+■+■）=■（|■|■+|■|■-2|■|■）=0

∴A■O⊥BD，A■O⊥OG，又BD∩OG=O

∴A■O⊥平面BDG

本題若從線面關(guān)系入手，思維過程相對比較復(fù)雜.但從向量的角度考慮，思維過程則簡單得多，借助于向量的數(shù)量計(jì)算，只需要證A■O與平面BGD中的任意兩條相交直線所在的向量的數(shù)量積為0即可，簡化了思維過程，體現(xiàn)了向量的優(yōu)越性.

3.“面面垂直”可以轉(zhuǎn)化為“向量垂直”.

設(shè)■，■分別為平面α、β的一個(gè)法向量，那么α⊥β？圳■⊥■？圳■·■=0.

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A■B■C■D■中，底面邊長為■，側(cè)棱長為■，E、F分別為AB■、B■C的中點(diǎn)，求證：平面D■EF⊥平面AB■C.

解：把正四棱柱如右圖放置在坐標(biāo)系中，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：

A（■，0，0），C（0，■，0）

B■（■，■，■），D■（0，0，■）

E（■，■，■），F(xiàn)（■，■，■）

假設(shè)平面AB■C的法向量為■=（1，λ■，u■），則■應(yīng)垂直于■和■，而

■=（-■，■，0），■=（0，■，■）

∴■·■=-■+■λ■=0

∴■·■=■λ■+■u■=0

∴λ■=1，u■=-■

∴■=（1，1，-■）

再假設(shè)平面D■EF的法向量為■=（1，λ■，u■），則■應(yīng)垂直于■，■.而

■=（■，■，-■），■=（■，■，-■）

∴■·■=■+■λ■-■u■=0，■·■=■+■λ■-■u■=0

∴λ■=1，u■=■

∴■=（1，1，■）

∵■·■=1+1-■·■=1+1-2=0

∴■⊥■

∴平面D■EF⊥平面AB■C.

三、利用向量求解空間角問題

空間角包括兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的角等，是高中教學(xué)的重點(diǎn)，傳統(tǒng)方法求解異面直線夾角時(shí)，一般要選取異面直線中某一條直線上的一個(gè)特殊面作另一條直線的平行線，但有時(shí)候，為了找到易于計(jì)算的平行線，往往要費(fèi)一番心思構(gòu)造輔助面、輔助體，有時(shí)候會(huì)感到無從下手.

向量在解決這類問題時(shí)顯現(xiàn)出強(qiáng)大的優(yōu)勢，不需要將構(gòu)成角的兩邊線段“移到”同一平面內(nèi)，只需要確認(rèn)這兩條線段構(gòu)成所求角的兩邊即可，應(yīng)用兩個(gè)向量數(shù)量積的公式就可以求解.

設(shè)直線AB和平面α所成的角θ，則sinθ=■，其中■為平面α的法向量.

如圖所示，正三棱柱ABC-A■B■C■的底面邊長為a，側(cè)棱長為■a，求AC■與側(cè)面ABB■A■所成的角.

解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為y軸，以AA■所在直線為z軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB■A■垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A■（0，0，■a），C■（-■a，■a，■a）.

取A■B■的中點(diǎn)M，則有M（0，■a，■a），連接AM、MC■，有■=（-■，0，0），且■=（0，a，0），■=（0，0，■a）.

因?yàn)椤觥ぁ?0，■·■=0，

所以■⊥面ABB■A■，所以■為面ABB■A■的一個(gè)法向量.

又因?yàn)椤?（-■a，■a，■a），■=（-■a，0，0），

所以|■|=■a，|■|=■a.

設(shè)AC■與側(cè)面A■B所成的角為θ，則

sinθ=■=■，

所以AC■與側(cè)面ABB■A■所成的角為30°.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，向量本身就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，具有豐富的實(shí)際背景.華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”有一句名言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想和解決問題的常用策略.利用向量方法研究立體幾何問題，避免了傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中數(shù)與形這二元結(jié)合、相輔相成的基本內(nèi)涵和本質(zhì)特征，大大提高了學(xué)生解決立體幾何問題的能力.