基于主成分分析法的企業(yè)經(jīng)濟效益評價模型

汪金晶 吳敏靚

摘要：本文將主成分分析方法應(yīng)用于社會科學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)濟評價系統(tǒng)，此方法將錯綜復(fù)雜的經(jīng)濟效益指標(biāo)歸結(jié)為幾個主成分并建立評價模型，使得復(fù)雜問題得以簡化，同時更科學(xué)、精確的反映出企業(yè)經(jīng)濟效益評價。

關(guān)鍵詞：主成分分析 經(jīng)濟效益評價

一、引言

對企業(yè)經(jīng)濟效益進行的有效評價，為各級政府對企業(yè)實施間接管理、加強紅宏觀調(diào)控、制定經(jīng)濟政策和考核企業(yè)經(jīng)營者業(yè)績提供參考依據(jù)；也有利于企業(yè)內(nèi)部建立健全激勵機制和約束機制，正確引導(dǎo)企業(yè)經(jīng)營行為，提高企業(yè)經(jīng)營管理水平和綜合競爭能力。

在經(jīng)濟問題的研究中，我們常常會遇到影響此問題的很多變量，這些變量多且又有一定的相關(guān)性，而相關(guān)性的大小差別又很大，因此我們希望從中綜合出一些主要的指標(biāo)，這些指標(biāo)所包含的信息量又要盡可能全面。這些特點，就使我們在研究復(fù)雜的問題時，必須抓住主要矛盾。

二、主成分分析法簡介

主成分分析（Principal Component Analysis）也稱為矩陣數(shù)據(jù)分析法，是數(shù)學(xué)上對多變量降維處理的一種方法，將原來眾多具有一定相關(guān)性的指標(biāo)重新組合成一組新的相互無關(guān)的綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo)。

利用降維的思想，將多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合變量（即主成分），其中每個主成分都是原始變量的線性組合，各主成分之間互不相關(guān)，從而這些主成分能夠反映始變量的絕大部分信息，且所含的信息互不重疊。[1]

主成分分析的基礎(chǔ)思想是將數(shù)據(jù)原來的P個指標(biāo)Y1，Y2LYP作線性組合，得出新的綜合指標(biāo)（X1，X2LXP）。其中X1是“信息最多”的指標(biāo)，即原指標(biāo)所有線性組合中使var（X1）最大的組合對應(yīng)的指標(biāo)，稱為第一主成分； X2為除 X1外信息最多的指標(biāo)，即COV（X1 X2）=0且 var（X2）最大，稱為第二主成分；依次類推。易知 X1，X2LXP互不相關(guān)且方差遞減。實際處理中一般只選取前幾個最大的主成分（總貢獻率達到85%），達到了降維的目的。

三、企業(yè)經(jīng)濟效益評價模型的建立

設(shè)有個待評價企業(yè)，個經(jīng)濟指標(biāo)，得到的原始資料矩陣

（1）對樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

在實際應(yīng)用中，往往存在指標(biāo)的量綱不同，所以在計算之前須先消除量綱的影響，而將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。對數(shù)據(jù)矩陣Y作標(biāo)準(zhǔn)化處理，即對每一個指標(biāo)分量作標(biāo)準(zhǔn)化變換，變換公式為：

其中：樣本均值，

樣本標(biāo)準(zhǔn)差，

得標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣

（2）計算相關(guān)系數(shù)矩陣

對于給定的n個樣本，求樣本間的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)矩陣中的每一個元素由相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)所表示。

其中

（3）求特征值和特征向量

根據(jù)協(xié)方差矩陣求出特征值、主成分貢獻率和累計方差貢獻率，確定主成分個數(shù)。解特征方程|λE-R|=0，求出特征值λi（i=1，2，LP）。因為R是正定矩陣，所以其特征值λi都為正數(shù)，將其按大小順序排列，即λ1≥λ2≥L≥λi。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各個主成分的影響力。

主成分Yi 的貢獻率

計貢獻率為

根據(jù)選取主成分個數(shù)的原則：特征值要求大于1且累計貢獻率達80%-95%的特征值λ1， λ2，Lλm所對應(yīng)的1，2，…，m（m≤P），其中整數(shù)m即為主成分的個數(shù)。

設(shè)相應(yīng)λi的特征向量。

（4）求主成分 （取線性組合）

根據(jù)求得的m個特征向量求主要成分通式模型為：

Fj是第j主成份，求各主成份的關(guān)鍵是求特征根（λi）及其相應(yīng)的特征向量（Ai ）。主成分分析以較少的m個指標(biāo)代替了原來的p個指標(biāo)對系統(tǒng)進行分析，這給我們對系統(tǒng)的綜合評價帶來了很大的方便。

（5）計算企業(yè)經(jīng)濟效益綜合評分函數(shù)Gi

在得出主成分全中后，評價企業(yè)經(jīng)濟效益的綜合值的模型為：

函數(shù)值由小到大的排列，越排考前，經(jīng)濟效益越好，進而可以待評價企業(yè)的經(jīng)濟效益進行全面、科學(xué)、精確的評估。

參考文獻：

[1]朱星宇，陳勇強.SPSS多元統(tǒng)計分析方法及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011：241.

[2]彭介壽，趙金先.主成分分析法與企業(yè)綜合經(jīng)濟效益評價[J].企業(yè)經(jīng)濟，2003（6）：115-116.

[3]陸慶春，田華.矩陣分析法在企業(yè)業(yè)績評價中的應(yīng)用[J].水利經(jīng)濟，2007（1）：37-39.

[4]劉樹梅.綜合評價活動的發(fā)展、問題、建議[J].統(tǒng)計研究，2002（12）：50-53.