基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成

張哲鵬　劉曉莉

摘 要： 現(xiàn)有的單快拍波束形成算法多是基于空間平滑原理提出的，缺點(diǎn)是損失了陣列孔徑，且降低了系統(tǒng)的自由度。對此提出了一種基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法：首先Toeplitz化接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，然后根據(jù)約束準(zhǔn)則得到實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量，利用Capon法得到最優(yōu)權(quán)。該方法充分利用了陣列的孔徑和自由度，保證了期望信號方向的增益，且對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞： Toeplitz化； 單快拍； 協(xié)方差矩陣； 穩(wěn)健波束形成

中圖分類號：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）08-14-05

0 引言

傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成算法要求用足夠多的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立同分布數(shù)據(jù)來估計(jì)協(xié)方差矩陣，而實(shí)際環(huán)境往往呈現(xiàn)非均勻、非平穩(wěn)特性，難以獲得獨(dú)立同分布的快拍，導(dǎo)致采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)出現(xiàn)偏差，自適應(yīng)波束形成方法性能急劇下降，此時采用單快拍或小快拍數(shù)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成算法顯得更為有效。現(xiàn)有的單快拍自適應(yīng)波束形成方法多是基于空間平滑原理提出的，文獻(xiàn)[1]提出了一種基于直接數(shù)據(jù)域最小二乘（D3LS）的單快拍自適應(yīng)波束形成方法，它通過空間平滑重構(gòu)數(shù)據(jù)矩陣和非期望信號矩陣，利用廣義特征分解得到最優(yōu)權(quán)；文獻(xiàn)[2]首先利用阻塞矩陣將期望信號阻塞，對阻塞后的信號平滑重構(gòu)，得到信號子空間，將期望導(dǎo)向矢量向信號子空間投影得到最優(yōu)權(quán)。這兩種方法在得到了自適應(yīng)處理所需的樣本的同時，也損失了陣列孔徑，降低了系統(tǒng)的自由度以及目標(biāo)的信噪比；文獻(xiàn)[3]針對D3LS存在的孔徑損失問題提出了一種改進(jìn)的D3LS方法（MD3LS），它首先通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，形成子陣級輸出，然后通過一個變換矩陣恢復(fù)最優(yōu)權(quán)維數(shù)，但它需要精確估計(jì)期望信號的復(fù)幅度，否則性能會明顯下降。

理想情況下，等距線陣的非相干信號協(xié)方差矩陣具有Toeplitz性質(zhì)。當(dāng)存在相干源或陣列誤差時，協(xié)方差矩陣不再滿足Toeplitz性，而Toeplitz化可以有效地解相干[4-5]，校正陣列誤差[6]，提高自適應(yīng)波束形成的穩(wěn)健性[7]。在單快拍情況下，陣列協(xié)方差矩陣的秩為1，顯然不再具有Toeplitz性，鑒于此，本文提出了一種基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法（簡記為TRB—Toeplitz Robust Beamforimg）。它首先Toeplitz化接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，然后根據(jù)約束準(zhǔn)則得到實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量，利用Capon法得到最優(yōu)權(quán)。該方法既不損失陣列孔徑和自由度，還對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。

1 研究背景

1.1 信號模型

不失一般性，對信號模型作如下假設(shè)[8]：

⑴ 信號源數(shù)小于陣元數(shù)目；

⑵ 信號與噪聲是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且噪聲服從零均值的高斯分布；

⑶ P個信號源為窄帶遠(yuǎn)場平面波。

陣列的接收數(shù)據(jù)矢量可以寫成如下形式：

其中，1?tk?L，L為快拍數(shù)，x（tk）=[x1（tk），…，xN（tk）]T，s（tk）=[s1（tk），…，sp（tk）]T和n（tk）=[n1（tk），…，nN（tk）]T分別表示tk時刻的數(shù)據(jù)矢量，信號復(fù)包絡(luò)和加性高斯白噪聲，（·）T表示轉(zhuǎn)置操作符。a（θi）為導(dǎo)向矢量，且 ，A（θ）=[a（θ1），…，a（θp）]表示陣列流型，d和λ分別為陣元間距和電磁波波長。

簡單起見，用A表示A（θ），k表示tk，則xk，sk，s1k，nk和n1k分別表示x（tk），s（tk），s1（tk），n（tk）和n1（tk）。

在理想情況下，等距線陣接收非相干信號的相關(guān)矩陣[9-10]為：

顯然Rx為Toeplitz矩陣。式中 “（·）H”表示共軛轉(zhuǎn)置，表示信號功率，為噪聲功率。實(shí)際中常常用 SMI[10]（采樣協(xié)方差矩陣求逆）算法來估計(jì)協(xié)方差矩陣，即

由式⑸可知，此時為秩1矩陣，存在嚴(yán)重秩虧，即無法直接應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成。

1.2 Capon自適應(yīng)波束形成

最優(yōu)準(zhǔn)則為[12]：

2 算法描述（TRB）

Toeplitz預(yù)處理[6，8]通常用于解相干源或校正陣列誤差等問題，這里將它應(yīng)用于單快拍的情況。通過Toeplitz化單快拍協(xié)方差矩陣，使其接近于理想的協(xié)方差矩陣，同時恢復(fù)了矩陣的秩。另外協(xié)方差矩陣的Toeplitz化處理還能使其對誤差具有一定的穩(wěn)健性，如陣列的擾動，通道的幅相誤差等。

Toeplitz預(yù)處理主要是解決如下的優(yōu)化問題：

其中，RT為所需要的Toeplitz矩陣，ST為Toeplitz矩陣集。關(guān)于⑼式的近似求解有很多種方法，比如Toeplitz近似方法（TOP）、修正的Toeplitz近似方法（MTOP）和迭代的Toeplitz近似方法（ITOP）。由于TOP和MTOP受陣元數(shù)的影響較大，在陣元數(shù)較小的情況下，性能不佳，故這里考慮的是ITOP方法，它的具體步驟為：

其中λav表示小特征值的平均。

由于Capon自適應(yīng)波束形成要求精確已知期望信號的導(dǎo)向矢量，否則主瓣會指偏，甚至?xí)谄谕盘柗较虺霈F(xiàn)凹口，導(dǎo)致信號相消。實(shí)際中由于各種誤差的存在，期望信號的導(dǎo)向矢量往往不能精確得到。當(dāng)存在指向誤差時，可以通過式（11）得到實(shí)際期望導(dǎo)向矢量的閉式解[13]，解決了對角加載量難確定的問題[14]，即：

其中，Un為協(xié)方差矩陣RIT對應(yīng)的噪聲子空間，ar，分別為實(shí)際的期望導(dǎo)向矢量和理想的期望信號導(dǎo)向矢量。表示將實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量向理想導(dǎo)向矢量的正交補(bǔ)空間投影，約束它最小，即要求實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量盡可能地逼近理想的期望信號導(dǎo)向矢量。

利用拉格朗日乘子法，可得：

式（12）為廣義特征值的形式，實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量ar為矩陣束的主特征值對應(yīng)的特征矢量。

用ar和分別替代⑺式的a（θd）和，解得最優(yōu)權(quán)為：

本文方法利用接收數(shù)據(jù)直接計(jì)算協(xié)方差矩陣，所以不會損失陣列孔徑和系統(tǒng)自由度。另外，Toeplitz化協(xié)方差矩陣還對陣列誤差，如陣元擾動誤差，幅相誤差等具有一定的穩(wěn)健性，所以相對于MD3LS本文方法更加穩(wěn)健。

該算法的流程圖如圖1所示。

3 計(jì)算機(jī)仿真分析

仿真1：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設(shè)期望信號的波達(dá)方向?yàn)??，信噪比SNR=0dB，且與噪聲不相關(guān)。分別考慮非相干干擾和相干干擾兩種情況，干噪比INR=50dB，入射方向?yàn)?30?，40?（假設(shè)導(dǎo)向矢量精確已知）。

由圖2可知，當(dāng)不存在指向誤差時，無論是非相干還是相干干擾，MD3LS和ITOP算法都能有效地進(jìn)行自適應(yīng)波束形成，而D3LS算法的主波束發(fā)生了畸變，導(dǎo)致期望信號方向增益很低，副瓣很高，這主要是由于其孔徑變小引起的。

仿真2：其余參數(shù)同仿真1，假設(shè)存在5?的指向誤差。

從圖3可見，當(dāng)存在5?指向誤差時，無論是非相干還是相干干擾， ITOP算法仍然有效，而MD3LS和D3LS算法性能很差，在期望信號方向出現(xiàn)了凹口，這主要是由于實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量和理想的不匹配造成的，當(dāng)指向誤差較小時，主瓣可能指偏，但當(dāng)指向誤差增大時，會導(dǎo)致期望信號相消。

仿真3：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設(shè)期望信號的波達(dá)方向?yàn)?0?，實(shí)際中存在5?的指向誤差，干噪比INR=50dB，入射方向?yàn)?30?，40?。分別觀察期望信號方向的增益隨輸入信噪比和不同樣本數(shù)據(jù)的變化。（200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)）

由圖4（a）可見，當(dāng)存在指向誤差時，MD3LS和D3LS算法受信噪比影響較大，信噪比越高，期望信號方向增益下降越嚴(yán)重，當(dāng)信噪比為20dB時，分別衰減到-8dB和-18dB，而本文方法對信噪比的變化不敏感，一直保持在7.5dB左右。圖4（b）表明樣本數(shù)據(jù)的選取對期望信號方向的增益影響不大。

仿真4：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設(shè)期望信號的波達(dá)方向?yàn)?0?，信噪比SNR=20dB，干噪比INR=50dB，入射方向?yàn)?30?，40?。分別觀察期望信號方向的增益隨幅相誤差和指向誤差的變化曲線。

說明：

由圖5（a）可見，三種算法對幅相誤差都不敏感，但本文方法具有更好性能，保證期望信號方向增益一直保持在理論值附近。圖5（b）表明，MD3LS和D3LS算法受指向誤差的影響較大，隨著指向誤差的增大，期望信號方向增益急劇下降，而本文方法由于對實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量與理想的期望信號導(dǎo)向矢量進(jìn)行了約束，可以有效地校正指向誤差，所以隨著指向誤差的增大期望信號的增益曲線變化不大。

4 結(jié)束語

實(shí)際非均勻非平穩(wěn)環(huán)境中，SMI算法估計(jì)協(xié)方差矩陣將失效，采用單快拍或者極少快拍數(shù)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成為人們的追求。現(xiàn)有的單快拍算法多是基于空間平滑原理提出的，利用空間平滑對數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行重構(gòu)，其缺點(diǎn)是損失陣列孔徑和系統(tǒng)自由度。本文利用了理想情況下等距線陣非相干源信號協(xié)方差矩陣的Toeplitz性質(zhì)，提出了基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法。首先直接利用接收數(shù)據(jù)形成協(xié)方差矩陣，然后對其進(jìn)行Toeplitz預(yù)處理，考慮到實(shí)際中可能存在指向誤差，對實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量和標(biāo)稱值進(jìn)行約束，得到實(shí)際期望信號的導(dǎo)向矢量，再利用LCMV準(zhǔn)則進(jìn)行波束形成。該方法充分利用了陣列孔徑和自由度，同時，對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。

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