構造等腰三角形解題的五種途徑

趙國瑞

等腰三角形是一類特殊的三角形，它的性質和判定在幾何證明和計算中有著廣泛的應用.有些幾何圖形中不存在等腰三角形，可根據已知條件和圖形特征，通過添加適當的輔助線，巧妙構造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質使問題獲解.

一、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形

當一個三角形中出現角平分線，我們可以通過作平行線構造等腰三角形.如圖1，AD是△ABC的角平分線.

①如圖2，過點D作DE∥AC交AB于點E，則△ADE是等腰三角形；

②如圖3，過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E，則△ABE是等腰三角形；

③如圖5，點E是AB邊上一點，過點E作EF∥AC分別交AD、BC于點F、G，則△AEF是等腰三角形；

④如圖4，點E是AB邊上一點，過點E作EF∥AC，交AD的延長線于點F，交BC于點G，則△AEF是等腰三角形；

⑤如圖6，過點C作CE∥AD交AB的反向延長線于點E，則△ACE是等腰三角形；

⑥如圖7，點E是AC邊上一點，過點E作EF∥AD，交AB的反向延長線于點F，交BC于點G，則△AEF是等腰三角形.

我們知道，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.現在的問題是：如果三角形一邊上的中線與它的對角的角平分線重合，那么這個三角形是否是等腰三角形呢？答案是肯定的，現在就來證明這個定理.

例1 如圖8，△ABC中，中線AD平分∠BAC.求證：AB=AC.

分析：AD既是△AC的中線，同時又是△ABC的角平分線.聯想到與角平分線和中線有關的輔助線，可過點B（或點C）作AC（或AB）的平行線.

證明：如圖9，延長AD至點E，使DE=AD.

∵BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，

∴△BDE≌△CDA.

∴BE=AC，∠E=∠CAD.

又∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠E.

∴AB=BE.∴AB=AC.

說明：本例也可過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，如圖10所示，從面積入手證明.

二、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形

當一個三角形中出現角平分線時，我們也可以通過作垂線的方法構造等腰三角形.如圖11，點E是∠ABC的角平分線AD上的一點，過點E作AD的垂線分別交AB、AC于點M、N，則△AMN是等腰三角形.

例2 如圖12，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D， CE⊥BD，交BD的延長線于點E.求證：CE=BD.

分析：由角平分線和垂線可以構造以BC為腰、∠ABC為頂角的等腰三角形.

證明：如圖12，延長CE交AB的反向延長線于點F.

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，由角平分線的對稱性知CE=EF=CF.

∵∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，

∴∠1=∠2.

又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF.

∴CE=BD.

三、利用中垂線，構造等腰三角形

當一個三角形中出現高時，可以在高所在的邊（或其延長線）上取一點，使高是該點與該邊上三角形的一頂點組成的線段的中垂線，從而構造等腰三角形.

如圖13，AD是△ABC的高.

①如圖14，在線段BC上取一點E使ED=DE，連結AE，則△AEC是等腰三角形；

②如圖15，在線段BC的延長線上取一點E，使BD=DE連結AE，則△ABE是等腰三角形.

例3 如圖16，在△ABC中，AD⊥BC于 點D，∠B=2∠C.求證：AB+BD=CD.

分析：由待證結論AB+BD=CD并結合已知條件“AD⊥BC”，可構造以AB為腰、AD為底邊上的高的等腰三角形.

證明：在BC上取一點E，使BD=DE，連結AE，則△ABE是等腰三角形.

∴AB=AE，∠B=∠AED.

而∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C， ∴∠C+∠CAE=2∠C.

∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∴AB=CE.

∴AB+BD=CE+DE=CD.

四、利用平行線，構造等腰三角形

過等腰三角形一腰上的點作底邊或另一腰的平行線，都可以得到等腰三角形. 如圖17，在△ABC中，AB=AC.過線段AB上一點D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點E、F，則△ADE和△BDF都是等腰三角形.

例4 如圖18，△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且BD=CE，DE交BC于點F.求證：DF=EF.

分析：由待證結論知點F是線段DE的中點，再結合已知條件“AB=AC”，可過點D作DM∥AC構造等腰三角形.

證明：過點D作DM∥AC交BC于點M，則∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.

∴∠B=∠DMB.∴BD=DM.

又BD=CE，∴DM=CE.

在△DMF和△ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，

∴△DMF≌△ECF.∴DF=EF.

說明：本例也可過點E作EN∥AB交BC的延長線于點N，證明過程留給同學們完成.

五、轉化倍角，構造等腰三角形

當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形.

如圖19，△ABC中，∠B=2∠C.

①如圖20，作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；

②如圖21，延長CB到點D，使BD=BA，連結AD，則△ADC是等腰三角形；

③如圖22，以C為角的頂點，CA為一邊，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點D，則△DBC是等腰三角形.

例5 如圖23，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求證：∠A=90°.

分析：結合已知條件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分線BD交AC于點D，并取BC的中點E，連結DE，借助等腰三角形的“三線合一”和三角形全等證明.

證明：作∠ABC的平分線BD交AC于點D，則∠DBE=∠C.∴BD=CD.

取BC的中點E，連結DE，則BE=AB，且DE⊥BC.

在△ABD和△EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD.∴∠BED=∠A=90°.

（作者單位：湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學）