《圓錐的體積》教學過程中的三次推進

薛曉斌，陳士文

《圓錐的體積》是小學數學幾何形體教學的最后一個立體圖形，圓錐的體積公式是通過實驗推導出來的。至此，學生已形成初步的空間觀念。如何借用圓錐這個教學素材，在公式推導的過程中培養學生的實證意識？如何借用圓錐的公式，在實證的基礎上提升學生的邏輯思維？如何立足圓錐的學習，為學生未來的發展培養創造力？

鑒于上述思考，我們設計了《圓錐的體積》一課教學的三個片段，旨在完成從直覺到實證、從直覺到邏輯、從直覺到智慧的三次推進。

一、第一片段的教學，從直覺到實證的推進

師：生活中還有一些物體的形狀不是圓柱，而是圓錐形的。誰能說說生活中呈圓錐形的物體？

師：怎樣計算圓錐的體積呢？

師：（出示，一個長方形長14厘米、寬7厘米，一個直角三角形長直角邊14厘米、短直角邊7厘米）這個三角形的面積是長方形面積的幾分之幾？

生（異口同聲地）：。

師：（演示，長方形沿著長邊為軸旋轉一周，形成一個圓柱體。）直角三角形以長14厘米的直角邊為軸，旋轉一周，圍成了一個什么形狀的幾何體？

生：圓錐。

師：這里的圓錐和剛才的圓柱有什么相同？

生：等底等高。

師：三角形的面積是這個長方形的，你們猜想一下，這個圓錐的體積是這個等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生：。

師：有沒有不同意見？

生：。（有的學生可能預習過，不過聲音很低，似乎沒有底氣。）

師：究竟是，還是呢？講臺上有實驗的材料，同桌討論，怎么證明是，還是？

（演示，一個學生到講臺前，用紅色的水裝滿圓錐容器，然后倒入等底等高的圓柱，三次剛好倒滿圓柱容器。）

師：現在誰來說說，圓錐是等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生：。（回答的聲音響亮）

教師板書圓錐的體積計算公式。

……

智慧心語：大膽猜想，小心求證。

我們知道，學生在運用圓錐的體積計算公式時，最容易遺忘的是“乘”。此處公式中“乘”的引出，不是教師直接告訴，而是先猜想再驗證，學生印象就會深刻。

上述教學片段，旨在培養學生的實證意識。因為空間觀念不能停留在對平面的感覺推演上，當有了不同意見的時候，教師引導學生用最樸素的方法——實驗，用事實來證明，公式的推導從直覺走向實證。

二、第二片段的教學，從直覺到邏輯的推進

師：我仍然用這個直角三角形，這次以短直角邊（7厘米）為軸，旋轉一周。

師：這次旋轉所形成的圓錐體積，和以長直角邊（14厘米）為軸旋轉圍成的圓錐體積一樣嗎？

生：一樣。

生：不一樣。

師：同樣的直角三角形，分別以長、短直角邊為軸旋轉一周，圍成的圓錐體積究竟相等不相等呢？請同學們獨立思考后，再進行小組討論。

師：誰來代表自己所在的小組，匯報討論的結果？

生：長邊做底面半徑所圍成的圓錐體積大，短邊做底面半徑所圍成的圓錐體積小。

師：為什么？

生：因為圓錐體積是用乘π、乘半徑的平方、乘高，半徑要乘兩次呢，所以長邊做底面半徑所圍成的圓錐體積大，短邊做底面半徑所圍成的圓錐體積小。

……

智慧心語：我們通過公式來說明，從感覺判斷走向理性分析。

當圓錐的體積計算公式得出之后，大多數教師往往轉入運用公式的練習，常常歸納出四種情況，即：①已知底面積和高，求圓錐體積；②已知底面半徑和高，求圓錐體積；③已知底面直徑和高，求圓錐體積；④已知底面周長和高，求圓錐體積。學生的思維停留在機械運用公式上，缺少數學理性的提升。

上述教學片段，旨在培養學生的邏輯思維能力。空間觀念不能停留在對立體的感知上，教師引導學生借助圓錐的體積公式，發現同樣的三角形旋轉，圓錐體的體積卻不一樣，其中的奧秘在公式中“r2”里，這是引導學生從理性的角度進行邏輯論證。

三、第三片段的教學，從直覺到智慧的推進

師：（演示，一個直角梯形旋轉一周，形成一個立體圖形。）同學們在頭腦中想象一下，這樣旋轉所圍成的是什么形狀？

生：像禿頂的山。

生：像圓錐切去一段。

師：它的體積怎么算呢？你能寫出公式嗎？

師：請學生們獨立思考后小組討論。

……

智慧心語：從熟悉的圓錐開始，我們可以探索未來。

通常情況下，我們的教學會轉入聯系生活實際，求沙堆的體積、求糧囤的容積、求帳篷（蒙古包）大小等，看似解決問題，實質依然是公式運用的重復、機械的訓練，學生沒有探索的空間。

上述這段教學，旨在培養學生的創造能力，從熟悉的圓錐開始，探索圓臺的體積計算公式。對于圓錐的教學，當學生有了直覺感知、實證意識、邏輯論證等方面的收獲之后，還需要培養學生創造的智慧。