例析一類三角函數高考題

袁海軍

點評：此題涉及的知識點較多，要求考生熟練運用三角誘導公式、和差、倍角、輔助角公式及正弦、余弦定理，同時要有較強的運算能力.有不少考生僅憑直覺要使△OMN的面積取最小值，則線段MN最小，又因為∠MON是定值，所以MN必須移到線段PQ同中點處，從而得出答案，問題在于如何證明這一結論呢？切不可想當然跳過去，造成不必要的失分.

點評：本題主要考查解三角形問題，考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力.關鍵在于正確利用正弦定理將S1，S2表示為α的函數，并能較好的運用三角和差、二倍角降次公式，要充分考慮到變量角的取值范圍，正確地結合三角函數圖象與性質.

點評：本題的特色是將向量與三角知識綜合，體現了知識的交匯性，這是高考命題的新趨勢，關聯三角形的三角解答題是高考命題又一個熱點.解答本題應先翻譯向量語言，脫去向量語言的外衣，這時問題（1）先轉化為解方程組問題，后化歸為三角函數求最值問題了，本題同時考查了考生三角函數公式、正余弦定理，圖像性質，化簡求值的綜合運用.

注：本題第（Ⅱ）問答案及其呈現方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式，還可以設計為：①N（，）；②N（，）；③點N在線段MP的垂直平分線上.

點評：本小題主要考查三角函數的圖像與性質、解三角形等基礎知識，其中解法（二）滲入了基本不等式思想，考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想.

點評：此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉化，從而建立關于邊長的方程.考查正、余弦定理的綜合應用.

小結：三角形中的三角函數關系是歷年高考的重點內容之一，本文主要幫助考生深刻理解正、余弦定理及三角公式、圖像性質綜合應用，掌握解三角形的常規方法和技巧；（1）運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形；（2）熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉化；（3）能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數公式配合，通過等價轉化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力，同時具有較強的知識遷移能力和數學建模能力，在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，這需要我們平時多加訓練，積累解題方法.

（作者單位：廈門大學附屬實驗中學）

責任編校 徐國堅