幾何教學中學生思維能力的培養

摘要：數學的內在魅力與價值，在于開發學生的智力，調動學生的積極思維，重視對學生高效學習的輔導。讓有效的教學喚醒沉睡的潛能，充分發揮數學的潛在功能。數學能力的核心是思維，而對學生進行幾何教學，是對思維訓練的進一步提升。因此，在幾何教學中，學生思維能力的培養顯得極其重要。本文主要論述了運用幾何教學培養學生的思維能力，通過優化教學過程、逆向啟發、情境創設、激發學習興趣、巧設練習、知識擴展等有針對性地提高學生的思維能力。

關鍵詞：幾何教學；思維能力；思維特征

幾何是研究空間結構及性質的一門學科，幾何教學重在培養學生的空間思維、邏輯思維，屬抽象思維能力的訓練。增加思維訓練的科學性、時效性是培養學生形成良好的思維品質、嚴密的邏輯思維能力的重要保證。幾何教學與學生的思維能力的培養息息相關，每一道幾何題的解答過程，就是一次最好的思維能力培養的過程。下面，筆者從六個角度出發來分析幾何教學中我們應該如何培養學生的思維能力。

一、逆向啟發、誘發思維，培養學生思維的創新性

1.培養思維的創新性的方法

創造性表現為創造性的提出問題和創造性的解決問題。可以從以下幾個方面培養學生思維的創造性，如：（1）加強學習思考的獨立性，保持好奇心；（2）增強問題意識，在課堂、學習中要發現問題、提出問題、解決問題；（3）注重知識的縱橫聯系，在融會貫通中提煉知識，領悟其中關鍵、核心和本質。

提高學生幾何解題能力，是一項艱巨的任務。逆向訓練是提高幾何解題能力的一個手段，正向訓練更不能忽視。只有從基礎知識出發，交替運用正向思維和逆向思維去分析問題，才能大大提高運用基礎知識的能力，才能使學生具有創造性思維的能力。

圖為三個同心圓形的跑道，跑道寬1米。某人沿每條圓形跑道的中間（虛線所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？

分析與解答：

根據題意，要求某人一共跑了多少米，就是求半徑分別為1.5米、2.5米和3.5米的三個圓的周長之和。列式為

3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）

=3.14×3+3.14×5+3.14×7

=3.14×（3+5+7）

=3.14×15

=47.1（米）

還可以這樣思考：如果這個人拿著一個1米寬的拖把，邊跑邊拖地，他跑了1個圓圈，就把這一圈的跑道全拖干凈。那么他跑了3個圓圈，就把這三條圓形跑道全拖干凈了。他共拖了3個環形面積的地。這3個環形面積的總和是：

3.14×（-）+3.14×（-）+3.14×（-）

=3.14×（-）

=3.14×[（4+1）×（4-1）]

=3.14×15

=47.1（平方米）

當然，也可以直接列式：3.14×（-）=47.1（平方米）

因為跑道寬1米，這個人拖完47.1平方米，那么他就前進了47.1米。

答：一共跑了47.1米。

如果將題改為跑100個這樣的圓形跑道，那么用后面介紹的解法計算他跑步的總長度，就簡捷多了。

解法如下：

3.14×（-）

=3.14×（101+1）×（101-1）

=3.14×102×100

=32028（平方米）

因為跑道寬1米，所以共跑了32028米。

二、多向探求、滲透劃歸，培養思維的靈活性

1.培養學生思維靈活性的方法

思維的靈活性是指思維活動的反應速度和熟練程度，表現為思考問題時的快速靈活，善于迅速和準確的做出決定、解決問題。可以從以下幾個方面培養學生思維的靈活性，如：（1）熟練掌握基礎知識和基本技能，熟能生巧；（2）課堂聽講超前思維，搶在教師講解之前進行思考，把課堂接受知識的過程變成思維訓練的活動；（3）幾何教學中，選取典型試題從不同角度設問或變更命題條件，能開闊學生思路，活化學生思維，是學生的思維活動能根據客觀條件的變化而變化，這樣就能訓練思維的靈活性，培養學生的發散思維。

2.在計算幾何圖形面積時，除了能正確運用面積計算公式外，還需要掌握一定的解題技巧

（1）割補法：割補法是指將一些不規則的、分散的幾何圖形經過分割、移補，拼成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

（2）平移法：平移法是指把一些不規則的幾何圖形沿水平或垂直方向移動，拼成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

（3）旋轉法：旋轉法是指把一些幾何圖形繞某一點沿順時針（或逆時針）方向轉動一定的角度，使分散的、不規則的幾何圖形合并成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

（4）等分法：等分法是指把一個幾何圖形平均分成若干個完全相同的小圖形，然后根據大圖形與小圖形面積之間的倍數關系進行求解的方法。

（5）軸對稱法：軸對稱法是指根據軸對稱圖形的特點，在原圖上再構造一個完全相同的圖形，使原圖的面積擴大2倍，然后通過計算新圖形的面積來求出原圖面積的方法。

通過不同角度的變換，使學生更透徹的理解知識，知識掌握更全面，同時，訓練了學生思維的靈活性，有利于發散思維的培養。

三、情境創設、巧設練習，培養思維的積極性

1.培養思維深刻性的方法

幾何教學中就是對圖形性質和應用的研究，由于幾何圖形具有直觀性、變換性的特點，因此利用多媒體教學手段，探究變式圖形，將靜態的圖形動態化，不僅能增加教學內容，開闊學生視野，而且可以激發學生興趣，誘發學生思維，擴展學生的思維空間，培養學生的探索創新精神。

例如，如圖由正方形ABCD和長方形EFDG部分重疊而成。正方形的邊長是247.8厘米；長方形的長是292.404厘米、寬是210厘米，正方形和長方形哪個面積大？

分析與解答：

要比較正方形ABCD和長方形EFDG面積的大小，方法是分別算出它們的面積再進行比較。從題中給出的數據看，確實給計算帶來麻煩。

只要在AF兩點間連一條線段（如右上圖），就會發現，三角形AFD的面積是正方形 ABCD面積的一半，同時也是長方形EFDG面積的一半，所以正方形ABCD和長方形EFDG的面積一樣大。這樣，也就不用計算這兩個圖形的面積了。

四、科學訓練、循序漸進，培養思維的深刻性

1.培養思維的深刻性的方法

思維的深刻性是指思維活動的抽象和邏輯推理水平，表現為深刻理解概念，分析問題周密，善于抓住事物的本質和規律。可以通過以下幾個方面培養學生思維的深刻性，如：（1）追根究底，凡事都要去問為什么，堅決擯棄死記硬背，科學訓練；（2）積極開展問題研究，養成深鉆細研的好習慣，循序漸進的方法步驟。

例如：在面積是40平方厘米的正方形中，有一個最大的圓（如下圖）。這個圓的面積是多少平方厘米？

分析與解答：

要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。可以這樣思考：

把正方形平均分成4份（如下圖）。每個小正方形的面積是40÷4=10平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是10平方厘米。這樣就可以求出圓的面積是3.14×10=31.4平方厘米了。

答：圖中圓面積是31.4平方厘米。

五、重視過程、理解概念，培養思維的嚴密性

有些概念教材往往以結論的形式直接呈現在學生面前，學生往往看見的是結果，而不是得到結果的那個過程。為了使學生形成正確的空間觀念，我們可以從學生掌握數學基礎知識出發，重視解決問題的過程，以解決問題為主，用科學的、有效的現代課堂教學，用探究方式組織學生操作實踐，探求規律，推導出公式。

六、自我評估、比較鑒別，培養思維的準確性

結論開放題的特點是多結論或無固定結論，對同一試題探求出各種各樣的方案，這種試題的解法靈活，思路廣，既能鞏固深化原有知識，又能提高學生的鑒別能力，自我評估，達到思維活動的準確性。

例題：下圖中⊙O的面積和長方形OABC的面積想等。已知⊙O的周長是9.42厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米？

分析與解答：

題中告訴我們，⊙O的面積和長方OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于π·r·r，而圖中⊙O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是π·r，即⊙O的周長的一半。而長方形的周長等于2個長與2個寬的和，也就是⊙O的周長與直徑的和。

長方形OABC的周長是：

9.42+9.42÷3.14

=9.42+3

=12.42（厘米）

答：長方形OABC的周長是12.42厘米。

如果題目改為：圓的周長和長方形的周長相等，已知圓的面積是9.42平方厘米，那么長方形OABC的面積是多少平方厘米？同學們又怎樣做呢？

通過這類試題的訓練，不但能加強知識間的橫向聯系，而且使學生對問題有了深刻的認識，大膽設想，并不斷自我評價，訓練和提高了學生思維的準確性和批判性，有利于提高學生的創造性思維。

總之，思維的訓練是一個長期而漸進的過程，教師在課堂教學中多角度、多層次、持之以恒的訓練學生的思維，提高學生的思維品質，培養學生的創新精神。培養學生的思維能力應貫穿到教學過程的各個環節中去。備課時必須在備教材、備學生的基礎上，明確思維訓練的內容和方法；上課要堅持啟發式教學，布置作業要少而精，形式要多樣，即要有鞏固性作業，也要有須經過積極思考才能做出的作業；考試測驗既要考慮知識的掌握，也要考慮思維的能力。只有這樣，通過不斷加強對幾何題的訓練，才能更好地培養學生的空間想象力和思維能力。

作者簡介：趙玲，任教于廣東省博羅縣龍華中學，是龍華中學數學骨干教師，多年從事畢業班數學教學工作，有多篇論文獲縣、市獎勵，教改觀摩課獲縣級優質課。

參考文獻：

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[3]賈曉麗.淺談數學教學中創新性思維能力的培養[J].試題與研究，2009（9）.