三個視角探尋“幾何動態問題”的真相

王曉紅 王鋒

所謂“動態幾何”問題，就是指在幾何圖形中，當某一個元素（如點、線或圖形等）運動變化時，問題的結論隨之改變或保持不變的幾何問題.它的主要特征是以幾何圖形為載體，設計一個或幾個動點（或線、或面）按某種特定的方式運動變化，在這個運動的過程中伴隨著的等量關系、數量關系的變化、特殊位置狀態的圖形出現.解決此類問題，首先必須弄清運動對象（點、線、面）運動的方式、運動的范圍、運動的時間、方向和速度；其次要掌握在運動過程中哪些量是變化的，哪些量是不變的.學會辯證的看待“運動”與“靜止”的相互關系，利用運動過程中某一瞬間靜止的位置，動中窺靜，以靜制動，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內在聯系，通過觀察、分析、歸納、推理，從中探求問題的本質、規律和方法.當探究有關圖形中變量之間的關系時，通常建立函數模型或不等式模型求解；當求特殊位置關系或數值時，常建立方程模型求解.

一、定量探究單雙動點問題

這類問題是一個或兩個動點按照一定的速度沿著給定的路徑運動，形成新的圖形.讓同學們探究構成的特殊圖形的形狀、線段垂直關系及圖形的面積與時間之間的關系，解答該類問題通常構造方程模型求解.

例1如下圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，F是弦BC的中點，∠ABC=60°.若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著A→B→A的方向運動，設運動時間為t（s）（0≤t<3），連接EF，△BEF是直角三角形時，t的值為（ ）

A. 1或3 B. 或

C. 或1 D. 或或1

解析：以點B、E、F為頂點的三角形是直角三角形，觀察圖形結合已知條件只可能是∠BEF=90°或∠BFE=90°.故應分類求解.由直徑所對的圓周角是直角可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°，AB=2BC=4cm.

① 當∠BFE=90°時，連接OF，因為F是弦BC的中點，根據垂徑定理則有∠OFB=90°，說明當點E運動到點O時滿足要求.由于點E以2cm/s的速度從A點出發沿著A→B→A的方向運動，所以E點運動的距離為：2cm或6cm，此時t=1s或3s.由于0≤t<3，故t=3s不合題意，舍去.所以當∠BFE=90°時，t=1s；

② 當∠BEF=90°時，過點F作FE⊥AB，垂足為E，則點E滿足要求.在Rt△BEF中，BE=BF·cos60°=0.5，AE=AB-BE=3.5，所以點E運動的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s.綜上所述，當t的值為1s、1.75s或2.25s時，△BEF是直角三角形.故選D.

反思：本題考查直徑所對的圓周角是直角、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、垂徑定理、直角三角形的性質等知識點.滲透了分類討論、轉化求解的思想方法.本題的思維陷阱有兩個方面：一是易忽視∠BEF是直角的情形造成漏解；二是沒有注意到點E是往返運動，即使注意到了卻忽視了運動時間有限制，造成多解（t=3s沒有舍掉）.

二、運動的直線問題

動線問題是指直線按指定的路徑進行平移、旋轉，形成新的圖形.在解答問題時要注意審題，找出直線運動過程形成不同圖形時的臨界位置進行分類探究，不要漏解，也不要多解.利用提供的等量關系將變量關系轉化為方程求解.

例2 如下圖，在等腰梯形ABCD中AB∥CD、AB=3、DC=、高CE=2，對角線AC、BD交于H.平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G.當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的面積為S1，被直線RQ掃過的面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒.

（1）填空：∠AHB=____________，AC=_____________；

（2） 若S2=3S1，求x.

解析：（1） 如右圖所示，過點C作CP//BD交AB的延長線于P.則四邊形BPCD是平行四邊形PC=BD，BP=DC=.根據等腰梯形的對角線相等，有AC=PC，并且CE⊥AB，所以AE=BP=AP =2，又CE=2，所以AE=EC.所以∠ACE=∠PCE=45°，所以∠AHB=∠ACP=90°.AC=APsin45°=4×=4.

⑵觀察上圖，我們可以發現當直線RQ移動時間最大時到達點C，此時x=秒，說明自變量的取值范圍為0≤x≤2，而直線MN最大平移距離是AC=2，即到達線段AC的中點位置.當直線RQ運動到線段BD位置之前，即0≤x≤時，兩條直線掃過的圖形都是三角形，而當直線RQ運動超過線段BD位置之后，即≤x≤2時，直線MN掃過的圖形仍是三角形，直線RQ掃過的圖形則是五邊形，所以需要分兩種情況討論：

①當0

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ARQ，根據相似三角形面積的比等于對應高的平方比，

∴=（）2=4. ∴S2≠3S1.

②當≤x≤2時，先用含有x的代數式分別表示S1，S2，然后由S2=3S1列出方程，解之可得x的值.

如圖左所示，因為CG=4-2x，CH=1，BD=AC=4所以S△BCD =×4×1=2，由于△CQR∽CBD，根據相似三角形面積的比等于對應高的平方比得 S△CRQ =2×（） 2=8（2-x）2

∴S2=S梯形ABCD-S△CRQ= 8-8（2-X）2 ，同理 =（）2，即 =（） 2

∴S1=x2由S2=3S1，得方程8-8（2-x）2=3× x2， 解得x1=（舍去），x2=2.

∴x=2.

注：本題重點考查等腰梯形， 相似三角形的性質，二次函數的增減性和配方法求最值；分類討論，由特殊到一般的數學思想等. （1）問是通過平移對角線，將等腰梯形轉化為等腰三角形，利用“三線合一”性質和勾股定理（或銳角三角函數）獲得問題答案的.通過添輔助線將梯形問題化歸為特殊的三角形、特殊的平行四邊形是解決梯形問題有效方法.

三、圖形的運動問題

用圖形的變換設計一個圖形變化的數學環境，來探究新圖形的性質，或其中某些量之間的函數關系（多數是面積問題）.解決此類問題的關鍵是掌握變換的本質特征，運用其不變量探究變化的圖形中一些量之間的特定關系.

例3 如左圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合.將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q.

（1）當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如右圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=a ，CQ=a時，P、Q兩點間的距離 （用含的代數式表示）.

分析：（1）依題意△ABC與△DEF是等腰直角三角形，所以∠B=∠DEF=∠C=45°，根據相似模型可知△BPE∽△CEQ，又AP=AQ，所以BP=CQ， 所以△BPE≌△CEQ（AAS）.

（2）因為△DEF繞點E旋轉的過程中，∠B=∠DEF=∠C=45°保持不變，則∠BEP+∠BPE=135°，∠BEP+∠CEQ=135°仍成立，所以∠CEQ=∠BPE仍成立，所以△BPE∽△CEQ.所以=，又BE=CE，即BE2=a2，所以BE=CE=a，所以BC=3a，在等腰直角△ABC中，所以AC=3a，所以AQ=CQ-AC=a，又AP=AB-BP=3a-a=2a，在Rt△PAQ中，由勾股定理得PQ==a.

評注：抓住圖形旋轉過程中，其中的不變量（∠B=∠DEF=∠C=45°）或不變關系（△BPE與△CEQ之間的相似關系）是解決此類問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）