揭示公式本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維能力

王應(yīng)標

【教材分析】

本節(jié)課是蘇教版《數(shù)學(xué)》必修5第三章第四節(jié)“基本不等式”第一課時的內(nèi)容。《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（實驗）對基本不等式：≤（a，b≥0）的要求：一是探索并了解基本不等式的證明過程，二是會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}?；静坏仁脚c必修1函數(shù)的最值、值域有非常密切的聯(lián)系，同時也是不等式證明非常有用的工具之一。因此，本課時內(nèi)容是本章乃至高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)內(nèi)容之一。

【學(xué)情分析】

學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和一元二次不等式、一元高次不等式解法等內(nèi)容，對不等式的性質(zhì)有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)基本不等式，為后續(xù)基本不等式應(yīng)用的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)目標】

1.探索并了解基本不等式≤（a，b≥0）。通過基本不等式的多種不同表征形式，揭示公式本質(zhì)。

2.通過基本不等式的證明過程，了解演繹證明的三種常用方法，即比較法、分析法、綜合法，并能運用三種方法證明簡單的數(shù)學(xué)命題。

3.在得出基本不等式≤（a，b≥0）結(jié)論的過程中，體會數(shù)學(xué)建模的思想，感受數(shù)學(xué)形式化結(jié)論的一般形成過程——實驗、觀察、猜想、歸納、抽象、概括，形成結(jié)論，體會數(shù)學(xué)的理性思維價值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【教學(xué)重難點分析】

重點：從不同角度探索基本不等式的證明過程。

難點：一是基本不等式的幾何表征。針對這個難點，教學(xué)中通過多媒體輔助手段，從學(xué)生已有知識出發(fā)，構(gòu)造出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的幾何意義。二是基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）。針對這個難點，教學(xué)中通過舉反例的方法，讓學(xué)生體會到三個條件缺一不可的重要性。

【教法分析】

本節(jié)課采用“教師設(shè)疑引導(dǎo)，學(xué)生自主探究”的教學(xué)方法，以問題為主線，學(xué)生經(jīng)歷觀察—感知—抽象—歸納—探究，從實際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思考。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，幫助學(xué)生理解基本不等式。

【教學(xué)過程及設(shè)計意圖】

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

【通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的情景，讓學(xué)生感悟到：數(shù)學(xué)源于生活，源于實際，使學(xué)生意識到學(xué)習(xí)“基本不等式”的必要性——因為生活中有大量類似的情景存在，我們就要研究它，它應(yīng)該成為數(shù)學(xué)的一個重要研究對象。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。本節(jié)課的明線是“基本不等式”的教學(xué)，暗線“面對一個新的數(shù)學(xué)對象，應(yīng)該如何入手和展開研究”也必須貫穿本節(jié)課的始終。基于此，設(shè)置情境?！?/p>

問題情境：將一個物體放在天平的一個盤子上，而在另一盤子上放一砝碼使天平平衡，稱得物體重量為a。

問題1 若天平制造不精確，天平的二臂略有不同（其它因素忽略不計），則物體的重量仍是a嗎？

經(jīng)過學(xué)生交流討論后，不難根據(jù)力學(xué)原理，得出物體的真實重量為G=a ①（l1為放有物體一側(cè)的天平臂長，l2為另一臂長）。

問題2 考慮到實際中精確測定二臂長不太可能，因此，a并非物體的實際重量，為此可作出第二次測量，即把物體調(diào)換到天平的另一個盤上，此時稱得物體重量為b。為了合理表示物體重量，我們可把兩次稱得的物體重量“平均”一下，即以表示物體的重量，這樣做合理嗎？

讓學(xué)生議論，明確用表示物體重量的不合理性，再讓學(xué)生利用力學(xué)原理，得出G=b ②

問題3 由①②能得出物體的真實重量嗎？

學(xué)生觀察①②后，得出物體真實重量的表達式為G=。

教師指出：也是正數(shù)a，b的一種平均方式。 稱為兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為兩個正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)。

問題4：你知道上面估計物體重量為是偏大，還是偏小，還是都有可能呢？

教師指出：對于兩個正數(shù)a，b，它們的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的大小關(guān)系如何，這便是我們這節(jié)課要研究的問題。

二、探究引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)新知

教師引導(dǎo)學(xué)生提出：能否取一些數(shù)做一些試驗?zāi)兀?/p>

【學(xué)生參與實驗，有利于猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力。】

多媒體展示：

根據(jù)試驗結(jié)果，學(xué)生不難猜想得出結(jié)論：≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。

三、抽象歸納，建構(gòu)新知

問題5 我們能否把剛才的猜想用嚴密的數(shù)學(xué)語言來闡述呢？

【提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力。】

展示定理內(nèi)容：如果a，b都是正數(shù)，那么≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。

數(shù)學(xué)是嚴謹?shù)模捎诓孪氲慕Y(jié)論可真可假，因此猜想的結(jié)論必須進行嚴格的證明，才能得出結(jié)論為真。

問題6 怎樣證明該不等式呢？

注：該處個人覺得課本要求太高，證明方法是選修2-1內(nèi)容，尤其是分析法，之前學(xué)生沒有任何接觸，應(yīng)該降低對證明的要求。

【引領(lǐng)學(xué)生從感性認識基本不等式到理性證明，實現(xiàn)從感性認識到理性認識的升華；培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性精神?！?/p>

學(xué)生經(jīng)過討論，不難得出書上的證法1（或者書上的證法3）。

方法一：作差比較或由（-）2≥0展開證明。

教師視情況補充以下證法：

方法二：分析法

【降低門檻，介紹新的證明方法?！?/p>

要證≥① 只要證a+b≥0②

要證②，只要證 ③

要證③，只要證（ - ）2≥0④

顯然，④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，④中的等號成立。

教師點評：這種證明方法叫做分析法，實際上是尋找結(jié)論的充分條件，是執(zhí)果索因的一種思維方法。

問題7 你能用文字語言將基本不等式表達出來嗎？

【發(fā)展學(xué)生的多元表征能力。】

文字語言敘述：

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

或者聯(lián)想數(shù)列的知識敘述為：

兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。

問題8 怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié)）

“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是：

當(dāng)a=b時，取等號，即a=b？圯=；

僅當(dāng)a=b時，取等號，即=？圯a=b。

幾何表征：既然稱為幾何平均數(shù)，那么它的幾何意義是什么？的幾何意義又是什么？

（多媒體展示處于動態(tài)下的圖）：在圓O中，AB是直徑，CD是與AB垂直且在運動的弦，CD與AB的交點為E，設(shè)AE=a，BE=b。

問題9 在圖中能否找到我們今天所學(xué)的不等式呢？

由平幾知識，得CE=DE，CE2=AE·BE，所以CE=，又圓的半徑CO=，即得CE≤CO，即≤。當(dāng)且僅當(dāng)E與0重合，即a=b時取等號。

揭示公式的本質(zhì)（多媒體展示圖）：此圖既優(yōu)美，又簡樸；既精煉，又深邃。原來這是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽著名的弦圖設(shè)計而成的。中間看上去像一個風(fēng)車葉輪的圖案，象征著中國人民的熱情好客。其中隱含的奧秘多得很，今天研究的只是“冰山一角”。

設(shè)每個直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，那么正方形ABCD的邊長為，面積為a2+b2。4個直角三角形的面積之和為2ab。正方形ABCD的面積不小于4個直角三角形的面積之和，則有2ab≤a2+b2。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

問題10 不等式2ab≤a2+b2與我們今天的不等式≤看起來相似，你能看出它們的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

學(xué)生（經(jīng)過一番探討）：式子2ab≤a2+b2等價于（a-b）2≥0，式子≤等價于（-）2≥0，從這個意義上看，兩式的道理完全相同。但式子2ab≤a2+b2成立的條件是a，b∈R，而式子≤成立的條件是（0，+∞），兩式取等號的條件又都是a=b。

另外，今天所學(xué)的不等式可以看成當(dāng)a>0，b>0時，在不等式a2+b2≥2ab中，以、分別代替a、b得到的。

到此為止，可以得出“基本不等式”的本質(zhì)（邏輯起點）是實數(shù)平方的非負性。再進一步，可以把a、b的取值范圍推廣到非負數(shù)。

四、應(yīng)用舉例，鞏固新知

上面的問題給了我們啟示：

問題11 能否把≤變成不同的形式？

【通過基本不等式的變形，既加深了對基本不等式的本質(zhì)特征的認識理解，又為不等式的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會運用變化的觀點看待事物的能力?！?/p>

讓學(xué)生討論、交流，至少能得出以下變式：

①a+b≥2（a，b∈R+）

②≤（）2（a，b∈R+）

③≥2（a，b∈R+）

④+≥2（a，b∈R+）

⑤+≥2（a，b同號）

⑥a+≥2（a∈R+）

問題12 我們再觀察下列命題，是否正確呢？

①對于任意實數(shù)a，b，均有a+b≥2；②當(dāng)x≥0時，由于1+x2≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)1=x2時，即x=1時，等號成立。所以函數(shù)y=1+x2（x≥0）的最小值為2；③當(dāng)x∈（0，）時，有sinx+≥4；所以函數(shù)y=sinx+在（0，）的最小值為4。

結(jié)論：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等。”

五、反思總結(jié)，內(nèi)化新知

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

【通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認知水平。】

教師根據(jù)情況完善如下：

一個不等式：若a≥0，b≥0，

則有≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，=。

三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大（?。┲禃r注意“一正二定三相等”。

【教學(xué)反思】

本課教學(xué)依據(jù)學(xué)生、教材實際，遵循教學(xué)設(shè)計問題化，教學(xué)過程活動化。采取“問題引入，揭示主題；觀察特例，形成猜想；多法證明，感受嚴謹；多元表征，加深理解”的教學(xué)思路，在充分考慮到學(xué)科知識的科學(xué)性、系統(tǒng)性的前提下，對教材進行適當(dāng)調(diào)整重組，并通過“創(chuàng)設(shè)情境、提出問題—探究引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)新知—抽象歸納、建構(gòu)新知—應(yīng)用舉例、鞏固新知—反思總結(jié)、內(nèi)化新知”五個活動展示教學(xué)流程。以學(xué)生學(xué)習(xí)活動為中心，不斷進行深度嘗試探究。變式練習(xí)由易到難，循序漸進，讓思維在問題解決中得到發(fā)展，使學(xué)生在探索問題的過程中，親歷數(shù)學(xué)對象的形成過程，感受數(shù)學(xué)求真求美的思維方式。

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室李善良教授曾經(jīng)用一句話概括數(shù)學(xué)教學(xué)的核心：“揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展思維能力?！惫P者不僅深表贊同，更愿意用每一節(jié)課去努力實踐。

（作者單位：江蘇省清江中學(xué)）