淺談列一元一次方程解應用題的教學技巧

陳本慧

摘 要：一元一次方程解應用題是初中數學教學的重點和難點之一，尋找等量關系又是列方程解應用題的關鍵，從如何尋找等量關系、如何利用等量關系列方程、如何設未知數來探討列一元一次方程解應用題的教學規律。

關鍵詞：一元一次方程；解應用題；等量關系；列方程；解題規律

一元一次方程解應用題是初中數學教學的重點和難點之一，也是所有列方程解應用題教學中最基礎的起始部分，因此，這一部分內容的教學對后續包括二元一次方程組的應用、一元二次方程的應用、分式方程的應用、一元一次不等式（組）的應用等教學有著至關重要的作用，也是初中數學理論聯系實際的一個重要方面，通過列一元一次方程解應用題的教學，可以很好地培養學生分析問題和解決問題的能力、增強學生的邏輯思維能力，但由于初中一年級這一階段學生的機械記憶力較強，而分析能力卻相對較弱，因此，要提高初一年級數學應用題的教學效果，除了要逐步提高學生的數學分析能力外，及時地給學生以解題方法論的指導，也是每一位數學教師必須考慮和認真探索的問題。

一、尋找等量關系是列方程解應用題的關鍵

列方程解應用題中最關鍵的是怎樣正確地找出能夠表示應用題全部含義的等量關系。要找到等量關系，首先，要分析每一道應用題屬于哪種類型，量與量之間有什么基本關系式。如，在行程問題中的路程、速度、時間三者的關系；工程問題中的效率、時間、工作總量三者的關系；銷售問題中的進價、定價、售價、利潤和提價或降價的百分率的關系等。其次，要從多角度出發，引導學生根據未知數與已知數，已知數與已知數的關系去尋找等量關系，當等量關系比較隱蔽時，還可借助圖解形象直觀地反映數量關系，便于學生尋找等量關系。

例如，某校師生到離學校28千米的地方游覽，開始一段路步行，速度是4千米/小時，余下路程乘汽車，速度為36千米/小時，全程共用了1小時，求步行所用時間。

這道題相對較簡單，可先找到表示等量關系的語句“全程共用了1個小時”即步行時間和乘車時間一共用了1個小時。以及由題意可知道的路程由步行路程和乘車路程組成，即步行的路程和乘車的路程之和等于28千米。如果設步行時間為x小時，那么有：

速度 時間 路程

步行 4千米/小時 x小時 4x千米

乘車 36千米/小時 （1-x）小時 36（1-x）千米

在這道題中時間表示已知量和未知量的關系，而路程表示方程的等量關系。

可列方程為：4x+36（1-x）=28

從而可解出這道題。

二、如何利用等量關系列方程

在一元一次方程的應用題中，有時只能找到一個等量關系，這種題較容易解決，但有些應用題往往可以找到兩個等量關系，這時怎么解呢？筆者通過多年的教學實踐，發現許多有關一元一次方程的應用題有以下規律：設用第一個相等關系，就以第二個相等關系來建立方程；設用第二個相等關系，就以第一個相等關系來建立方程。

例1.小新出生時父親28歲，現在父親的年齡是小新年齡的3倍，求現在小新的年齡。

本題有兩個相等關系：

（1）代差：父親年齡-小新年齡=28

（2）父親現在年齡=3×小新現在年齡

方法一：設用第一個相等關系，設小新現在年齡為x歲，則父親現在年齡就為x+28歲，就以第二個相等關系來建立方程：

x+28=3x

x=14

方法二：設用第二個相等關系，設小新現在年齡為y歲，則父親現在年齡就為3y歲，就以第一個相等關系來建立方程：

3y-y=28

y=14

下面以一元一次方程解應用題中的行程問題為例，行程問題有三個量：路程、速度、時間，往往已知一個量，同時還有有關另外兩個量的相等關系，設用其中一個相等關系，就以另一個相等關系來建立方程。

例2.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5小時。已知水流的速度是3 km/h，求船在靜水中的平均速度。

本題是一個行程問題，時間是確定的，另外還有關于速度和路程的兩個相等關系，設速度就以路程的等量關系來建立方程；設路程就以速度的等量關系來建立方程。

（1）順流速度-逆流速度=6

（順流速度=靜水中的速度+水速，逆流速度=靜水中的速度-水速）

（2）順流路程=逆流路程

方法一：設用第一個相等關系，設船在靜水中的平均速度為x km/h，則船的順利速度為x+3 km/h，則船的逆水速度為（x-3）km/h，就以第二個相等關系來建立方程：

2（x+3）=2.5（x-3）

x=27

方法二：設用第二個相等關系，設甲、乙兩碼頭相距y千米，就以第一個相等關系來建立方程：

y/2-y/2.5=6

y=60

y/2-3=27

例3.小花的媽媽為爸爸買一件衣服和一條褲子，共用了306元，其中衣服按標價打七折，褲子按標價打八折。衣服的標價為300元，褲子的標價是多少？

本題有兩個相等關系：

（1）商品的售價=商品的標價×折數

（2）衣服的售價+褲子的售價=總和

方法一：設用第一個相等關系，設褲子的標價為x元，則褲子的售價就為0.8x元，就以第二個相等關系來建立方程：

300×0.7+0.8x=306

解得x=120

方法二：設用第二個相等關系，設褲子的售價為y元，則衣服的售價為306-y元，就以第一個相等關系來建立方程：

306-y=300×0.7

解得y=96

褲子的標價=y÷0.8=96÷0.8=120

這樣反復訓練幾道題，我相信學生一定能從中找出一元一次方程解應用題的解題規律，從而能很好地培養學生分析問題和解決問題的能力。

三、使學生掌握設未知數的技巧

設未知數是列方程解應用題的關鍵步驟之一，通過上面的訓練，我們應該知道并非都是只能問什么就設什么，恰當地設未知數往往能起到事半功倍的效果，初學者往往難以掌握，教師要教會學生設未知數的方法。設未知數常用兩種方法：

1.直接設元法

當題中等量關系能明顯表示出所求未知量時，可以采用直接設未知數的方法，即在題目里問什么，就設什么做未知數。這樣設未知數后，只要求出所列方程的解，就可以直接得到題目所求，在多數情況下都可以用直接設元法來解方程。例如，小穎種了一株樹苗，開始時樹苗高約40 cm，栽種后每周樹苗長高約5 cm，問大約幾周后樹苗長高到1米？這個問題就宜采用直接設元法。

2.間接設元法

當直接設未知數列方程比較困難或列出的方程不易求解時，可以采用間接設元法，即設所求問題相關的間接未知數。這種方法特點是先將所設未知數求出來，然后通過題意再將題中所求未知量求出來。例如，一個兩位數，個位與十位上的數字之和為7，若把它們十位上的數字與個位上的數字對換，所得到的兩位數比原來的兩位數大27，求這個兩位數。直接設這個兩位數是做不出來的，此問題就應采用間接設元法，可設個位上的數字或者設十位上的數字。然而，有些問題既可以采用間接設元法，又可采用直接設元法，從而形成一個問題的多種解法，對于這樣的問題，要求學生選一種簡便的解法。

隨著新課程改革的深入，如何更好地培養學生運用數學知識解決實際問題的能力顯得越來越重要，所以應用題的教學不容忽視。作為數學教師在思想上要高度重視，在行動上要精心安排，認真落實優化應用題教學，始終著眼于學生應用意識和能力的提高，應用題將很好地促進素質教育的發展，學生素質也將會在應用題教學中得到顯著提高。

參考文獻：

朱慕菊.走進新課程：與課程實施者對話.北京師范大學出版社，2002-06.

（作者單位 云南省曲靖市沾益縣第五中學）