復雜圖形簡單化求解的探究

張棉慶

摘 要：在課堂教學中，提高學生的課堂興趣、提高課堂的教學效率，顯得很重要。復雜圖形簡單化求解的探究很大程度上可以解決在教學中遇到的問題，提高學生的學習興趣。在教學實踐中，教師與學生的思維對話、知識的溝通融合、情感的升華，是一大教學亮點。對復雜圖形簡單化求解的探究就是在新課標引導下得出的教學感悟，在探究過程中不斷提高學生的學習興趣，真正體會快樂數學、數學快樂的理念。

關鍵詞：探究；化繁為簡；簡化圖形；數學興趣

近幾年的幾何教學中，學生往往在幾何知識入門方面顯得有些慢熱，這大大降低了學生對數學的熱愛及學習興趣，也同時引起了許多教師的深刻反思，如何擁有一套簡單而有效的教學模式和方法顯得大為重要。

2013年我任教初一，在幾何教學中取得了一定的進步，特別是針對如何解決難題這一方面頗有心得。現共享如下，以便求得大家更好的見解。

一、巧妙構造，簡化圖形

這是一種快速而有效的方法，往往對有相同圖形的復雜結構圖顯得更有效果。初一教學中有這樣一道題：

例1.如右圖所示，DE、BE分別是∠CDA和∠CBA的平分線，求2∠E=∠A+∠C。

學生困難一：圖形復雜，不知如何下手。

學生困難二：如何將角平分線性質及定義在圖上體現出來。

學生困難三：如何體現數量關系。

引導學生探索：圖1中A與∠C有何關系？

易知：

∠C+∠D+∠COD=180°

∠A+∠B+∠AOB=180°

∠C+∠CDA=∠A+∠ABC（圖2）

∠C+∠CDE=∠E+∠EBC（圖3）

∠E+∠EDA=∠A+∠ABE（圖4）

即：∠C+2X=∠A+2Y，∠C+X=∠E+Y，∠E+X=∠A+Y

所以，2∠E=∠A+∠C

小結：學生較易得出結論，而且可以很好地分享其中的快樂，在解決了知識的同時又有了新的收獲，大大增加了學生的學習興趣。所以，適當地巧妙構造圖形，既可以簡化圖形，又可以快樂學習。

二、弱化圖形，化繁為簡

弱化圖形，將原來復雜圖形中多余的線段剔除，留下主要結構圖，可以得到學生在書本中做過的熟悉圖形，同時可以輕而易舉得出結論。

這是初一第五章相交線與平行線教學中遇到一道典型例題：

例2.直線AB、CD互相平行，連接AC（如圖所示）這三條線將平面分成四個區域，分別為①②③④（注：點落在線上不屬于任何一個區域）。現有區域內任意一點P，連接PA、PC，得∠PAB、∠APC、∠PCD，求三者之間的關系。

（1）若點P在區域①，三者關系為 。

（2）若點P在區域②，三者關系還和（1）一樣嗎？

（3）若點P在區域③，結果又如何？

學生困惑一：動點問題，學生本身對該種題型難以把握。

學生困惑二：平行線和三角形之間的綜合運用怎樣體現并如何巧妙建立關系。

引導學生：探究圖中當點P落在區域①時探究圖中∠PAB、∠APC、∠PCD的關系，找到三角，剔除多余的線看圖形特征，是否可以輕而易舉找到答案。

學生易知：∠APC=∠PAB+PCD，相同方法探究當點P落在區域②時這三個角之間的關系：

學生易得：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°

知結果與（1）不同

同理可知，第③區域的情況，但要分以下幾種情況討論，需要引起學生注意的是當P在AC的所在直線上時應如何求解。

情況一：（點P在AC所在直線上）

情況二：（點P在直線AC的右側）

學生易知：∠PCD=∠POB=∠PAB+∠APC

情況三：（點P在直線AC的左側）

學生易知：∠POB=∠PCD

∠PAB=∠POB+∠OPA=∠PCD+∠CPA

小結：連續五種情況的剖析讓學生較易掌握這種方法，也輕松地得到學生所需要的答案。弱化圖形，化繁為簡，大大增強了學生的學習動力。

總之，針對不同的復雜圖形，我們都可以找到相應的解法，化繁為簡，將復雜圖形簡單化，輕松而快捷地得到答案，這不僅為教學提供了方便，還給了學生更多的思考空間，極大地吸引了學生的注意力，提高了他們的學習興趣。

（作者單位 江西省上饒市實驗中學）