如何求曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程

佐春梅

摘 要：數(shù)學(xué)和哲學(xué)是有聯(lián)系的，運(yùn)用哲學(xué)思想、方法論可以很快地解決數(shù)學(xué)問題。利用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)，觀察、看待、解決曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程問題，并且給出五個(gè)典型例題加以說明.

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程；運(yùn)動(dòng)；變化

哲學(xué)的唯物辯證法告訴我們，世界上的一切事物都處在普遍聯(lián)系之中，沒有孤立存在的事物，整個(gè)世界就是一個(gè)普遍聯(lián)系的統(tǒng)一整體.要求我們堅(jiān)持用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，具體地分析事物之間的聯(lián)系.根據(jù)事物的固有聯(lián)系，改變事物的狀態(tài)，改變條件，創(chuàng)造條件，建立新的具體聯(lián)系.數(shù)學(xué)和哲學(xué)是有聯(lián)系的，運(yùn)用哲學(xué)思想、方法論可以很快地解決數(shù)學(xué)問題.下面用唯物辯證法思想、方法論幫助我們分析問題、解決問題，進(jìn)而簡(jiǎn)單、快捷地求出曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程.

一、運(yùn)用唯物辯證法思想、方法解決求曲線極坐標(biāo)方程問題

1.一般的，求曲線極坐標(biāo)方程步驟是：

①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；

②在曲線上任取一點(diǎn)M（ρ，θ）；

③根據(jù)曲線上點(diǎn)所滿足的條件寫出等式；

④用極坐標(biāo)ρ，θ表示上述等式，并化簡(jiǎn)得曲線的極坐標(biāo)方程；

⑤證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程.

在具體求曲線極坐標(biāo)過程中，步驟③：根據(jù)曲線上點(diǎn)所滿足的條件寫出ρ，θ的等式是個(gè)難點(diǎn).這就需要運(yùn)用哲學(xué)上的唯物辯證法思想，利用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)，觀察、看待、解決這個(gè)問題.

2.為求曲線上任一點(diǎn)M（ρ，θ）滿足的關(guān)系式，我們細(xì)分三個(gè)步驟：

①運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)：聯(lián)系點(diǎn)M的極坐標(biāo)ρ，θ的幾何特征，即ρ為點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離，θ為OM與極徑OA所成的角；

②運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問題：為求曲線上任一點(diǎn)M（ρ，θ）滿足的關(guān)系式，讓點(diǎn)M在曲線上運(yùn)動(dòng)起來.然后觀察點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中哪些量是變化的，如，ρ，θ變化；哪些量是不變化的，其中不變的量實(shí)際上是曲線的固有特征；

③再運(yùn)用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)解決問題：將②中變化的量與不變化的量建立新的具體聯(lián)系，進(jìn)而得到ρ，θ等式.

3.下面看幾個(gè)具體例子：

例1.如圖1，在極坐標(biāo)系下半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C（a，0）（a>0），求此圓的極坐標(biāo)方程.

分析：（?。┤（ρ，θ）是圓上除O、A以外的任意一點(diǎn)（聯(lián)系點(diǎn)M的極坐標(biāo)ρ，θ的幾何特征）

二、運(yùn)用唯物辯證法思想、方法解決求曲線參數(shù)方程問題

一般的，求曲線參數(shù)方程步驟是：

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）；

②寫出適合條件的點(diǎn)M的集合；

③用坐標(biāo)表示集合，列出方程；

④化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式；

⑤證明所得的方程是曲線的參數(shù)方程.

求曲線參數(shù)方程的難點(diǎn)是“引入?yún)?shù)”.運(yùn)用我們前面提到的哲學(xué)思想世界上的一切事物都處在普遍聯(lián)系之中，沒有孤立存在的事物，整個(gè)世界就是一個(gè)普遍聯(lián)系的統(tǒng)一整體.用變化、發(fā)展、聯(lián)系的角度看待問題，“引入?yún)?shù)”這個(gè)難點(diǎn)很容易突破.

例4.如圖4所示，設(shè)圓O的半徑是r，點(diǎn)M從初始位置M0出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓O上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求圓的參數(shù)方程.

分析：（ⅰ）設(shè)M（x，y）是圓上任意一點(diǎn)

（ⅱ）讓點(diǎn)M在圓上動(dòng)起來，觀察，當(dāng)點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，哪些量是變化的？哪些量是不變化的？（如圖）

點(diǎn)M坐標(biāo)，∠MOX=θ是變化的；OM=r是不變的.

（ⅲ）建立變化量與不變量間的關(guān)系.即

求解過程略.

例5.已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)B在x軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程.

分析：（運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問題）

如圖，（ⅰ）設(shè)C（x，y）為軌跡上任一點(diǎn).

（ⅱ）觀察：當(dāng)點(diǎn)A，B在y軸和x軸非負(fù)軸上運(yùn)動(dòng)的過程中，哪些量是變化的？哪些量是不變化的？

變化的量：∠ABO的大小，∠CBD的大小，C點(diǎn)的坐標(biāo)

不變化的量：線段AB，BC的長度，∠ABC的大小

（ⅲ）建立變化量與不變量間關(guān)系.過點(diǎn)C作x軸垂線即可.

因此，方程（1）為頂點(diǎn)C軌跡的參數(shù)方程.

通過上面五個(gè)例題展示，我們可以體會(huì)到，運(yùn)用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)分析問題，任何求曲線軌跡方程的問題都可以迎刃而解，而且思路變得簡(jiǎn)單，統(tǒng)一；運(yùn)用馬克思主義哲學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)，就可以使我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中避免或減少失誤，少走彎路；以馬克思主義哲學(xué)思想為武器，用馬克思主義哲學(xué)的觀點(diǎn)去分析、解剖數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，用馬克思主義哲學(xué)的思想去統(tǒng)帥數(shù)學(xué)的思想和方法，才能透徹明了地看待數(shù)學(xué)問題的思路，清晰、辯證地講解數(shù)學(xué)演繹的邏輯過程，才能掌握好數(shù)學(xué)的思想和精神.

參考文獻(xiàn)：

賈慶軍.世紀(jì)金榜：高中新課程全程學(xué)習(xí)方略：數(shù)學(xué)·選修.陜西出版集團(tuán)未來出版社，2011.

（作者單位 寧夏回族自治區(qū)銀川市育才中學(xué)）