如何證明初中幾何題

白海濤

[摘 要]：初中生拿到幾何題感覺無從下手，不會(huì)分析，沒有思路，本文就如何證明幾何題闡述一下簡(jiǎn)單的常用方法

[關(guān)鍵詞]：初中 幾何題 方法

很多初中學(xué)生剛剛接觸證明幾何題，雖說對(duì)于定義，公理和定理能勉強(qiáng)記住，但遇到證明題時(shí)卻感到無從下手，往往拿到了一個(gè)題目就想證，接著是毫無頭緒地亂想一陣，容易的題目還能僥幸想得出來，稍難一點(diǎn)的題目就要束手無策了。出現(xiàn)這樣問題的原因與學(xué)生證明前的準(zhǔn)備不足有關(guān)，證題前必須仔細(xì)讀題，明白題中所有名詞的定義，完全理解題意，然后分辨出題中哪一部分是題設(shè)，哪一部分是結(jié)論，若原題無圖，則根據(jù)題意畫好符合題意的圖，并標(biāo)注相應(yīng)字母，這樣才算完成了基本準(zhǔn)備工作，下面的任務(wù)是著手研究怎樣著手證明初中幾何題了。

當(dāng)同學(xué)們拿到了一道證明題，而且也做好證題前的一切準(zhǔn)備工作，這時(shí)就可以開始研究證明的方法思路了。說到怎樣著手證明，決不像我們的算術(shù)有一定法則或代數(shù)有刻板的公式，必須掌握思索問題的方法，逐步去推測(cè)、探究，最普通的思索方法就是像醫(yī)生給病人診斷病因一樣，必須先查明病人的癥狀，然后去研究造成這樣的癥狀的原因，可能是哪幾種？再就患病的經(jīng)過和病人的環(huán)境來考察，在這幾種可能的原因中決定是哪一種，假使已經(jīng)斷定病人的病癥是從飲食不慎而引起的，接著就要研究這病是在胃里呢？還是在腸里呢？不是在其它的器官里呢？于是再去找尋證據(jù)，就許多可能的情況分別探究，像這樣，從病人的癥狀出發(fā)，去追求造成癥狀的原因這所在，再逐步分析研究，直到同呈現(xiàn)的一切事項(xiàng)完全符合而止。這種方法通常稱為分析法。

在證明幾何題的時(shí)候，分析法是我們常用的方法，它的步驟同醫(yī)生的探索病因幾乎沒有什么兩樣。我們先從題目結(jié)論著想，推測(cè)它可以成立的條件，然后就這些重要條件分析研究，看它們的成立必須具備什么條件，這樣逐步逆推，直到所需的條件同題目中的已知事項(xiàng)符合而止。

下面就是一個(gè)用分析法證明的例題，已知等腰三角形ABC的底邊是BC，延長(zhǎng)一腰AB到D，使BD等于其腰，又取AB的中點(diǎn)E，求證：CD=2CE

分析：

① 要使CD=2CE成立，必須滿足

下列的兩個(gè)條件之一：

a.CD的一半長(zhǎng)等于CE

b.CE的二倍長(zhǎng)等于CD

② 假如使用①中的a，要使 ? CD=CE成立，須平分CD于F，下面再研究是否符合下列的條件之一：

a.CF=CE

b.DF=CE

③ 假如使用②中的a，要使CF=CE成立，又須符合下列許多條件之一：

a.CF和CE是一對(duì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊；

b.CF和CE各等于另一線段。

④ 假如使用③中的a，須連BF兩點(diǎn)，使△BCF≌△BCE成立，又須符合下列各條件之一：

a. BF=BE，∠2=∠1，BC=BC（即SAS）

b. ∠2=∠1，BC=BC，∠BCF=∠BCE（即ASA）

⑤ 觀察④中的a、b .....，我們知道只有a是同題目的已知事項(xiàng)符合的。因?yàn)锽F是△ADC二邊中點(diǎn)的連線，必須等于? AC，又已知AB=AC，BE=? AB，故BF=BE，又因BF必平行于AC，故∠2=∠ACB，△ABC是等腰三角形，故∠1=∠ACB，于是∠2=∠1，至于BC=BC是相等的，故△BCF≌△BCE可以成立，因而CD=2CE也可以成立。

在上面的例中，若改用①b，②b，③b等，也可以推出與已知事項(xiàng)符合，而得到不同的結(jié)論。

我們?cè)倏匆粋€(gè)生活問題，假如老師給一串鑰匙，讓甲同學(xué)去圖書館取一本關(guān)于《幾何原本》的書，甲同學(xué)若對(duì)圖書館是不熟悉的，要想打開室門，就要從一串鑰匙中逐一嘗試，找出一把，然后再找到放教學(xué)書的柜子，再逐步嘗試找出一把開柜的鑰匙，開了門后，又得尋找哪一格是放幾何書的，第幾本才是《幾何原本》，就這樣經(jīng)過了一番周折，才找到了書。這種方法就是上述的分析法。

用這樣的方法解決問題，雖然比較繁，但是符合思索的過程，對(duì)于不熟悉這一個(gè)問題的解決途徑的人來說，是十分合適的。假如你對(duì)這一個(gè)問題已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)，就可以從已知的事項(xiàng)逐步推理，把問題直接解決。假如甲同學(xué)把那本書再放回原處，第二次再去取的話，就可以不費(fèi)周折，立刻取到手了，這樣的方法就叫綜合法。

在幾何證明中由已知事項(xiàng)經(jīng)過推理得到結(jié)論的方法就是綜合法。我們把前面的幾何例題的分析法倒過來書寫，就成了綜合法，我們一般是利用分析法分析問題，而用綜合法寫出證明過程。

分析法和綜合法是我們常用的直接的證題方法，但有時(shí)我們還要用到間接的方法來證或證的時(shí)候還要通過添加輔助線，從而更好地解決幾何證明問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《幾何定理和證題》許莼舫

[2] 《初中數(shù)學(xué)教學(xué)法》