拆圖法在解題中的應用

田佩鋒

摘 要：拆圖法即將圖形整體分解為部分，把復雜的圖形分解為簡單的圖形，分清條件與結論，找出條件與結論之間的關系，以基本圖形為基礎，完成對題目的解答。實踐證明：拆圖法在幾何解題中非常有用，它是解決幾何問題的一種有效方法。在實際解題過程中，應根據構成基本圖形的要素識別幾何圖形；用“等價拆圖法”識別幾何圖形；構造定理所需的圖形或基本圖形，從而拆出我們所需要的基本圖形；立足基本圖形，環環利用，最后破解。

關鍵詞：拆圖法；幾何解題；基本圖形；幾何圖形

象棋殘局，布局很重要，而關鍵的棋子，則是我們布局的基本點，找到其基本點，棋局也就破解了。在全面倡導素質教育的今天，初中幾何在提高學生的基本技能、培養學生的邏輯思維能力和創造性思維能力等方面都有著非常重要的作用。

當我們在使用拆圖法解幾何題時，以個人經驗和其他優秀教師的做法，結合個別例題，總結為以下幾點：

一、根據構成基本圖形的要素識別幾何圖形

用“簡化法”識別幾何圖形，“簡化”就是排除次要的部分，把復雜圖形中與需要識別的圖形無關的部分略去不考慮，使隱藏于其中的基本圖形顯現出來。

例1.找出圖1（1）中∠HAG的同位角。

分析：此圖較復雜，若依據構成同位角的要素逐角審核，審核量大，且因角多，互相干擾，易出差錯。但若依據構成同位角的要素簡化次要的部分，把含∠HAG的符合同位角定義的基本圖形剝離出來后再辨認，則簡易、可靠得多。

構成同位角的要素：（1）由兩條直線被第三條直線所截而形成。（2）不共頂點。可知∠HAG的同位角必須是其他直線與直線BG或HD交于非A點才能產生。因此，KC、AF、AE為干擾因素，可除去。于是得到圖1（2）。（3）在兩條被截直線的同一方。（4）在截線的同一側。又可除去干擾因素HK、CD、BC、KG、GE，得圖1（3）。這是構成同位角的基本圖形，∠HAG的同位角已一目了然了。

二、根據構成基本圖形的要素，用“等價拆圖法”識別幾何圖形

“等價拆圖”就是按照合理的拆圖規則，把一個復雜的幾何圖形拆成若干個不重復也無遺漏的能完全反映原圖的基本圖形，從而把對復雜圖形的識別轉化為簡單的基本圖形的識別。

例2.找出圖2（1）所有的同位角、內錯角和同旁內角。

分析：此圖中的同位角、內錯角和同旁內角數量很多，且互相交織，關系復雜，辨別起來十分困難，尤其難于找全。

根據構成同位角、內錯角和同旁內角所共有的第1、2條要素，由兩條直線被第三條直線所截而形成，不共頂點。可以確定“以圖中每一條直線依次擔當一次截線，不過這條直線上同一點的其他直線每次兩條不重復輪換與之相交”的拆圖方法。照此方法，可把這個復雜的幾何圖形拆成一系列不重復也無遺漏的與原圖等價的基本圖形。例如，以AD為截線時，可拆得圖2（2）與圖2（3）兩個基本圖形（下略）。拆出全部的基本圖形后，由這些基本圖形找出所有的同位角、內錯角和同旁內角就不難了。

三、構造定理所需的圖形或基本圖形，從而拆出我們所需要的基本圖形

在解決問題的過程中，有時添輔助線是必不可少的。中考對學生添線的要求不是很高，只需連接兩點或作垂直、平行，并且添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形，如，本例第一個證明就是利用角平分線上的點到角兩邊距離相等這一定理（如圖甲）；再如，上海市2002年壓軸題的第①題構造圖形也是利用這一定理。

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的角平分線，按以下要求解答問題：（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D。①在圖甲中，證明：PC=PD；②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比（見題圖）。

四、立足基本圖形，環環利用，最后破解

例4.如下圖：將三角形ABC的BA邊延長1倍到D；CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F，如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是多少？

A.18 B.12

C.16 D.15

這樣我們就知道了圖中各個小三角形的面積，加起來就得到了大三角形的面積。

實踐證明：拆圖法在幾何解題中非常有用，它是解決幾何問題的一種有效方法。關注其基本圖形，熟知其基本知識點，方能在拆的過程中越拆越明了，越拆越方便、實用。

（作者單位 浙江省青田縣方山鄉中心校）