排列與組合模型

劉偉

摘 要：排列與組合模型主要研究從不同元素中，選取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問(wèn)題。高考中，直接考本知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)題型主要是選擇或填空題，屬中下難度。但在概率解答題中，古典模型與排列組合的結(jié)合，一直是高考熱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：排列與組合；模型；考點(diǎn)

題型1：分組問(wèn)題

例1.將5名實(shí)習(xí)老師分配到3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，至多2名，不同的分配方案有（ ）

A.30 B.90

C.180 D.270

解析：由題目可知，5名教師只能分組為1，2，2，首先選出分配1個(gè)老師的那個(gè)班，即C13·C15，然后把剩下的4名老師隨機(jī)各選2名分給剩余兩班，即C24·C22，則最后應(yīng)該有分配方案C13·C15·C24·C22=90種，故選B。

考點(diǎn)升華：均勻分組與不均勻分組、無(wú)序分組與有序分組是組合常見(jiàn)題型。解決關(guān)鍵是是否均勻，無(wú)序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；有序分組要在無(wú)序的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)。

題型2：捆綁問(wèn)題

例2.將4名男生、3名女生排隊(duì)照相，若7人排成一列，4名男生須排在一起，方法有（ ）

解析：先將4名男生排在一起，當(dāng)成一個(gè)元素，再與其余3名女生排，故共有A44·A44=576種，故選B。

考點(diǎn)升華：把相鄰元素看做一個(gè)整體，再和其他元素一起排列的方法稱為捆綁法，此法應(yīng)注意捆綁元素內(nèi)部的排列。

題型3：特殊元素（位置）問(wèn)題

例3.某晚會(huì)由7個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：甲節(jié)目須排在前兩位，乙不排在第一位，丙須排在末位，則節(jié)目排序方案有

種。

解析：特殊節(jié)目有甲、乙、丙三個(gè)，可按甲的節(jié)目分兩類：（1）甲排第一位，共有A55=120種排法；（2）甲排第二位，共有A14·A44=96種，據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有方案120+96=216種，故填216。

考點(diǎn)升華：如果題目中含有特殊的元素或位置，應(yīng)先滿足這些特殊元素或位置，然后安排其他元素或位置，即采取先特殊后一般的解題原則。

題型4：插空問(wèn)題

例4.8名學(xué)生和2名老師站在一處留影，2名老師不相鄰的排

法有（ ）

A.A88 ·A29種 B.A88 ·C29種

C.A88 ·A27種 D.A88·C27種

解析：據(jù)題意先讓8名學(xué)生排列，共有A88種，再讓2名老師插

在8名學(xué)生形成的9個(gè)空中，有A29種，故共有A88·A29種，故選A。

考點(diǎn)升華：對(duì)于不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列所形成的空檔中。

（作者單位 陜西省涇陽(yáng)縣橋底鎮(zhèn)石橋中學(xué)）