數(shù)形結(jié)合法解題例說

李昭平

所謂數(shù)形結(jié)合，一般是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字、符號(hào)、式子）與直觀的圖形結(jié)合起來進(jìn)行思考，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，使抽象問題直觀化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化. 數(shù)形結(jié)合是抽象思維與形象思維的融合， 是數(shù)與形的辯證統(tǒng)一.數(shù)形結(jié)合法是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，下面舉例介紹.

1 . 處理集合問題.

例1. 設(shè)A=[-2，4），B={x|x2-ax-4≤0}，若B？哿A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[-1，2） B. [-1，2]

C.[0，3] D.[0，3）

解析：令f（x）=x2-ax-4，顯然此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）.按B？哿A的要求，拋物線的位置應(yīng)該是如圖1，于是f（-2）≥0，f（4）>0，即（-2）2-a（-2）-4≥0，42-4a-4>0， 解得0≤a<3，選答案D.

點(diǎn)評(píng)： 集合可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)、線、函數(shù)的圖像、平面上的曲線或區(qū)域等等，此時(shí)，如果能根據(jù)集合代表的對(duì)象畫出相應(yīng)的圖形，利用圖形的位置關(guān)系得到代數(shù)關(guān)系，往往能順利解題， 整個(gè)過程是“數(shù)→形→數(shù)”.這里從集合B中的條件， 聯(lián)想到它對(duì)應(yīng)的拋物線，使集合間的關(guān)系直觀化，相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系則隨之確定，避免了解繁雜的含參數(shù)的不等式組.

牛刀小試1：設(shè)a≥-2，且A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，C？哿B， 求a實(shí)數(shù)的取值范圍.（答案：≤a≤3）

2. 處理邏輯問題.

例2. 命題P：若x，y∈R，則x+y>1是x+y>1的充分不必要條件. 命題：函數(shù)y=的定義域是（-∞，-1]∪[3，+∞），則（ ）

A.“P或Q”為假 B.“P且Q”為真

C. P真Q假 D. P假Q(mào)真

解析：分別在同一直角坐標(biāo)系中畫出|x|+|y|>1和|x+y|>1所表示的區(qū)域，前者是如圖2中正方形外的部分，而后者是直線x+y=1的右上方與x+y=-1的左下方.顯然由|x+y|>1能推出|x|+|y|>1，而由|x|+|y|>1不能推出|x+y|>1，故|x|+|y|>1是|x+y|>1的必要不充分條件， 命題P是假命題. 不難得到Q為真命題，故選D.

點(diǎn)評(píng)：若所求問題中的結(jié)構(gòu)式含有明顯的幾何意義，比如a2+b2可看作點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)距離的平方，可看作過兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2）的直線的斜率），

|x|+|y|>a（a>0）時(shí)是封閉正方形的外部區(qū)域，|x|+|y|≤a（a>0）是封閉正方形的內(nèi)部區(qū)域（含邊界）等等，則利用它們的幾何意義解決問題就非常簡(jiǎn)便.

牛刀小試2：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b+1<0，a+b+2>0，b>0，則的取值范圍是 . （答案：

3. 處理單調(diào)性問題.

例3. 設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+4x-10，（x≤2）log2（x-1）-6，（x>2）若f（6-a2）>f（5a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析：首先畫出分段函數(shù)的圖像（如圖3），觀察其單調(diào)性.由此可知，函數(shù)f（x）在R上單增.于是由f（6-a2）>f（5a）可得：6-a2>5a，-6

點(diǎn)評(píng)：我們知道，若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，x1，x2∈D，且f（x1）

牛刀小試3：設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+6x+e2-5e-2，（x≤e）x-2lnx， （x>e）若f（6-a2）>f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

（答案：-3

4. 處理最值問題.

例4. 若不等式m}，求m實(shí)數(shù)的最小值.

解析：設(shè)y=，則y2=2（x+）（y≥0），該函數(shù)的圖像是拋物線y2=2（x+）在x軸上方的部分.再設(shè)y=x+a，其圖像是一條直線. 在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖4所示）.

由圖像可知，當(dāng)直線y=x+a經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)

（-，0）時(shí)，不等式的解集是{x|x>m}的形式，且m的值最小，把（-，0）代入y=x+a得a=，由y=，y=x+，解得x=-或，所以m的最小值為.

點(diǎn)評(píng)：將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后運(yùn)用函數(shù)的圖像解答，直觀明了，簡(jiǎn)單快捷.

牛刀小試4：若曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值.（答案：3）

5. 處理恒成立問題.

例5. 已知a>0且a≠1，f（x）=x2-ax.不等式f（x）<在x∈（-1，1）上恒成立，求a實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析：f（x）<在x∈（-1，1）上恒成立？圳 x2-

令P（x）=x2-，Q（x）=ax.在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)P（x）=x2-，Q（x）=ax的圖像（如圖5所示），則有a>1，Q（-1）≥p（-1）或0

點(diǎn)評(píng)： 本題中的f（x）<是一個(gè)超越型恒成立不等式，求f（x）的值域并非易事.若將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小問題，運(yùn)用函數(shù)圖像的高低解答，則代數(shù)關(guān)系式立即明朗化.

牛刀小試5：若x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

6. 處理向量問題.

例6. 如圖6，在△OAB中，點(diǎn)P是線段OB、AB的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，且=x+y，則在直角平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）所示的區(qū)域在直線y=4下方部分的面積.

解析：（1）當(dāng)P點(diǎn)在線段AB或其延長(zhǎng)線上時(shí)， 實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）有什么特征？

如圖6，設(shè)交直線AB于E，=x1+y1，=？姿，？姿≥1.由三點(diǎn)共線的充要條件知x1+y1=1， 則x=？姿x1，y=？姿y1，x+y=？姿（x1+y1）≥1.這表明對(duì)于直線AB右上方或直線AB上的點(diǎn)P都有x+y≥1.

（2）從=x+y，考慮對(duì)分解.

如圖7， 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，是平行四邊形CODP的對(duì)角線，A，O，C三點(diǎn)共線， O，B，D三點(diǎn)共線.于是x≤0，且y≥1.結(jié)合“直線y=4的下方”便得到線性約束條件x+y≥1，x≤0，y≥1，y≤4，可行域如圖8所示，于是所求的面積是×3×3=.

點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，打破了過去傳統(tǒng)的線性規(guī)劃題型，具有結(jié)構(gòu)新、背景新、解法新的特點(diǎn)，能有效考查考生的思維水平和綜合能力. 解題的關(guān)鍵是能由圖形的位置變化確定實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）滿足的線性約束條件，顯然是“以形助數(shù)”的過程.

牛刀小試6：如圖，OM∥AB ，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且=x+y，則x的取值范圍是______； 當(dāng)x=-時(shí)， y的取值范圍是______. （答案： x<0， y∈（，））

7. 處理新定義問題.

例7. 對(duì)實(shí)數(shù)a與b，定義新運(yùn)算“？茚”： a？茚b=a，a-b≤1b，a-b>1設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2）？茚（x-x2），x∈R.若函數(shù)y=f（x）-c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-2]∪（-1，） B. （-∞，-2]∪（-1，-）

C. （-∞，）∪（，+∞） D.（-1，-）∪[，+∞）

解析：由題意知，若x2-2-（x-x2）≤1，即-1≤x≤時(shí)，f（x）=x2-2；當(dāng)x2-2-（x-x2）>1，即x<-1或x>時(shí)，f（x）=x-x2要使函數(shù)y=f（x）-c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，只須方程f（x）-c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可，即函數(shù)y=f（x）的圖像與直線y=c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可.

畫出函數(shù)y=f（x）的圖像（如圖9）與直線y=c，不難得出答案B正確.

點(diǎn)評(píng)：本題是定義新函數(shù)問題，主要考查考生閱讀、理解、遷移新知識(shí)的能力.突破了常規(guī)題型， 具有立意新、背景新的特點(diǎn). “以形助數(shù)”是解題的關(guān)鍵. 在高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的知識(shí)交匯處命題是近幾年高考命題的一種新趨勢(shì)， 其中定義新函數(shù)題屬高頻考點(diǎn)， 并常常置于選擇題或填空題靠后的位置，成為高考試卷的亮點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要引起重視.

牛刀小試7：對(duì)實(shí)數(shù)a與b ，定義新運(yùn)算“？茚”： a？茚b=a，a-b≤1b，a-b>1設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2）？茚（x-x2），x∈R.若函數(shù)y=f（x）-c的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 .（答案：c>）

以上介紹了數(shù)形結(jié)合法的七種應(yīng)用，例題和練習(xí)題都很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合法的基本思想和解題方法. 解題的原則是減少過程、提高速度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)試題的特點(diǎn)，靈活選擇相應(yīng)的方法：“數(shù)→形”“形→數(shù)”“數(shù)→形→數(shù)”“形→數(shù)→形”. 通過練習(xí)可以深化感悟，把握本質(zhì).

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)