初中數學概念教學的邏輯解析

王國蘭

數學概念是進行運算、判斷、推理、證明的基礎，形成準確、清晰的概念是正確思維的前提。學生對數學概念的掌握程度直接影響其學習效果。因此，數學概念教學是數學教學的重要組成部分。

數學概念分為原始概念和定義概念。原始概念往往是直接從客觀事物的空間形式和數量關系抽象而來的，比較直觀具體。在教學中，教師若能很好地利用直觀教具，使學生通過觀察而明確概念所反映的對象、特性，以及概念所適用的范圍，則能收到較好的效果。定義概念，雖然是對客觀事物的空間形式和數量關系的反映，但其產生和發展經歷了抽象和概括的過程，具有其本身的復雜性和抽象性。因此，在進行定義概念教學時，教師有針對性地引導和幫助學生逐個角度、逐個層面地認識概念反映的對象，是很有必要的。

1.明確概念的研究對象

對概念要做到能夠正確理解，明確概念的研究對象是第一要義。教師在進行概念教學，特別是在初步建立新概念時，必須首先明確指出概念的研究對象是什么，同時可采用類比、反例等手段對概念的研究對象進行個性凸顯。例如，對“平行線”之一概念的教學，教師在引導學生通過觀察得出平行線是“同一平面內的兩條不相交的直線”時，要強調平行線概念的研究對象是同一平面內的兩條直線，它不是射線、線段，更不是曲線。學生對于研究對象的明確，意味著對新概念已初步地接受，有了初步的認知。

2.明確概念成立的條件

要正確理解概念，明確概念成立的條件同樣是很重要的環節。有些概念的表述很相似，但隨著其限制條件的不同，概念的內涵可能完全不同。比如，“在同一平面內的兩條不相交的直線是平行線”，這一關于平行線的概念，如果忽視了其前提條件“在同一平面內”，“平行線”之一概念就不一定成立。因為在空間中確實存在著不相交但也確實不平行的直線——異面直線；再如“圓”之一概念的表述為“在同一平面內，到一定點的距離等于定長的點的集合”，如果沒有“在同一平面內”這一前提作保障，“圓”的概念同樣不能成立，因為在空間中到定點的距離等于定長的點的集合可能是球面。像這樣的條件性較強的概念在中學數學中是很多的，教師要用類比的方法，使學生對概念成立的條件有明確的認識和全面的理解。

3.揭示概念的內涵

概念的內涵是概念的反映對象在一定條件下所具備的本質屬性，是此概念區別于其他概念的根本標志。一個定義概念，其研究對象及相應條件的確定，即意味著概念內涵的確定。因此，概念教學的主要任務之一即是要凸顯概念的內涵本質和本質特征，同時要幫助學生排除誤解因素對本質理解的干擾。

由于在教學中，給概念下定義常用“種概念加類差”的方式，因此概念教學時要重點講解定義中種概念和類差，使學生認識到被定義概念既擁有它的種概念的一切屬性，又有自己所獨有的特性即類差。例如，“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定義中，“四邊形”就是平行四邊形所具有的最鄰近的種概念，類差是“兩組對邊平行”。應強調指出平行四邊形首先是四邊形，具有四邊形的一切屬性，如內角和為360°，具有不穩定性等，同時還應強調平行四邊形是特殊的四邊形，特殊在“有兩組對邊分別平行”。

有些概念的種概念和類差不夠明確，教學時通常還要從側面對這些概念的內涵進行闡述。比如“互為余角”概念的教學，必須強調兩點：其一，必須是兩個角，單獨一個90°角或和為90°的三個角及三個以上角，都不能說互為余角；其二，兩個角之和必須為90°。這兩點即是“互為余角”這一概念的本質所在。另外，教學實踐表明，很有必要向學生說明兩個角是否互余與角所處的位置無關，比如南極有一個角為30°，北極有一個角為60°，但這兩個角仍然互為余角。

4.在應用中加深對概念的理解

無疑，學習概念是為了應用。學生對初學概念即使能弄清其基本含義，也未必能運用概念進行運算、證明。同時，應用是對概念的加深理解最有效的方式和途徑，具體應用過程可使概念的對象屬格化、抽象的條件具體化、深刻的定義淺顯化。所以，必須配以典型的例題，引導學生掌握概念的適用范圍和方法，從而加深學生對概念的理解。仍以“互為余角”概念為例，配以如下例題，要求學生自己先行解答。

例：如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，DE⊥AC于點E，則圖中互余的角共有（ ？搖？搖）對。

A.6 B.7 C.8 D.9

結果多數學生選C。我們對此題作如下分析：在解決直角三角形中的互余問題時，要考慮三種情況：①直角三角形中的直角被分成兩部分的兩個角互余：∠1與∠2，∠3與∠4；②同一直角三角形中的兩個銳角互余：∠2與∠B，∠1與∠3，∠4與∠A，∠A與∠B，∠1與∠A；③等量代換得到的互余角：∠2=∠3，故∠3+∠B=90°，∠2+∠4=90°，即∠3與∠B、∠2與∠4也是互余角，所以共有9對互余角，正確答案為D。該題中學生出錯的主要原因是不自覺中對“互為余角”強調了位置關系。通過以上分析，學生可以更全面、深刻地理解“互為余角”這一概念。

5.梳理概念之間的關系，形成概念體系

在中學數學教學過程中，數學概念是分散的、漸進的，有些概念的理解不是一次能完成的。因此，教師應該有計劃地進行單元總結或階段歸納。比如絕對值、算數平方根、完全平方數，這是中學數學不同階段的三個表述完全不同的概念，但它們之間有一個共同點，都是非負數，即|a|≥0，≥0，a2≥0.在這個意義上可把它們劃歸為一類，可以利用這一類的非負性解決很多相關的數學問題。

對所學概念進行經常性的比較和梳理，可使概念知識條理化、系統化，漸次構成一個完整的概念體系，只有這樣，才能使學生對所學概念理解得更深刻，也才能使學生對所學概念運用得得心應手。