非線性電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩的方法分析

摘要：總結(jié)了當(dāng)前非線性電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩研究中主要采用的理論方法，比如經(jīng)典的模態(tài)分析法、非線性因素的時(shí)域仿真法、基于軌跡辨識的方法，以及近來得到廣泛應(yīng)用的正規(guī)形、分岔和混沌等非線性理論研究方法。

關(guān)鍵詞：非線性電力系統(tǒng)；機(jī)電振蕩；分岔理論

作者簡介：馬列（1983-），男，吉林四平人，東北電力大學(xué)電氣工程碩士研究生。（吉林 吉林 132012）

中圖分類號：TM7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）05-0209-02

工業(yè)領(lǐng)域的絕大多數(shù)系統(tǒng)包括電力系統(tǒng)，本質(zhì)上都是非線性動力系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于平衡點(diǎn)附近穩(wěn)定臨域內(nèi)時(shí)，可以將系統(tǒng)近似線性化處理，通過對線性化后的系統(tǒng)的研究分析可以近似得到原非線性系統(tǒng)的性質(zhì)。但是，在系統(tǒng)的非線性度較強(qiáng)，如系統(tǒng)發(fā)生機(jī)電振蕩時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動態(tài)特性，線性化方法的效果就會受到影響。因此，有必要在系統(tǒng)機(jī)電振蕩分析中考慮到非線性因素對系統(tǒng)穩(wěn)定分析結(jié)果的影響。[1]目前，對電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩的非線性因素研究主要有以下幾種方法。

一、模態(tài)分析法

模態(tài)分析法是分析電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩最有效的方法之一。[2]該方法是將全系統(tǒng)的動態(tài)微分方程在系統(tǒng)平衡點(diǎn)處線性化，行成狀態(tài)方程。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性與狀態(tài)方程的特征值和特征向量密切相關(guān)。研究人員通過觀察特征值的分布和性質(zhì)，就可以確定出系統(tǒng)的振蕩模式。通過這種分析，就可以判斷系統(tǒng)機(jī)電振蕩回路中存在怎樣的區(qū)間振蕩模式和局部振蕩模式，系統(tǒng)阻尼是否夠強(qiáng)等一系列信息。

此種方法中，根據(jù)求取特征值范圍的不同，常見的有全部特征值法和部分特征值法。全部特征值法包括QR算法和牛拉法等，其中最有效的方法是QR算法，利用這種算法可以搜索出系統(tǒng)所有的振蕩模式，不會發(fā)生漏根現(xiàn)象，但該方法僅適用于對稱與非對稱的中、小型矩陣，存在“維數(shù)災(zāi)”的問題，對于大型電網(wǎng)的分析，其計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間都會存在問題。針對大型電網(wǎng)的模態(tài)分析法，有學(xué)者提出了部分特征值法，即只計(jì)算出一部分對穩(wěn)定性判別有關(guān)鍵影響的特征值，解決了計(jì)算時(shí)間問題，大大提高了計(jì)算效率，目前這類方法有自激法、Arnoldi法等。

模態(tài)分析法的分析過程忽略了系統(tǒng)的非線性因素，當(dāng)系統(tǒng)擾動較小時(shí)模態(tài)分析法能夠反映出系統(tǒng)的小干擾特性，當(dāng)系統(tǒng)擾動較大時(shí)，模態(tài)分析法會存在較大誤差。

二、時(shí)域仿真法

時(shí)域仿真法被廣泛地用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析和小擾動分析中，適用于機(jī)電振蕩的研究。它以數(shù)值分析理論為基礎(chǔ)，借助于計(jì)算機(jī)工具，應(yīng)用Simulink、BPA、PSCAD等電力系統(tǒng)仿真軟件，模擬系統(tǒng)在某一擾動下的時(shí)間響應(yīng)，據(jù)此來判斷機(jī)電振蕩過程中的阻尼和頻率特性。[3]該方法考慮到了各個(gè)元件的微分代數(shù)方程和電力系統(tǒng)本身的非線性因素，科研人員普遍采用該方法研究電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩。

但同時(shí)該方法也存在著以下缺點(diǎn)：大規(guī)模電力系統(tǒng)中系統(tǒng)振蕩的頻率很低，在仿真精度和參量的要求下，計(jì)算量很大，仿真消耗大量的時(shí)間；無法揭示電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩的真正原因，找不到機(jī)電振蕩的擾動源，難以找出引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因；時(shí)域仿真只針對于某一運(yùn)行方式下特定的擾動類型和擾動地點(diǎn)，擾動的類型、地點(diǎn)以及觀測量的選擇都對結(jié)果有很大的影響。并且，這一特定類型的擾動，并不能激發(fā)出系統(tǒng)全部的振蕩模式，而任一條仿真曲線都是不同模式疊加耦合的結(jié)果，難以得到系統(tǒng)關(guān)鍵模式的信息，仿真的結(jié)果往往帶有片面性，難以設(shè)計(jì)有針對性的控制。

由于以上缺點(diǎn)，時(shí)域仿真法在研究系統(tǒng)機(jī)電振蕩方面存在一定的局限性。

三、基于軌跡辨識的方法

時(shí)域仿真法仿真得到的數(shù)據(jù)和監(jiān)測設(shè)備實(shí)測的數(shù)據(jù)中包含了電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩時(shí)的模態(tài)信息，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，研究人員常用傅里葉變換法、卡爾曼濾波法、Prony分析法等基于軌跡辨識的方法對其進(jìn)行分析，可以得到電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩時(shí)振蕩周期、阻尼比、動態(tài)衰減速度等參數(shù)。

傅里葉變換法利用傅里葉變換來分析信號頻譜特性，僅適于分析平穩(wěn)信號，有很大的局限性。而小波變換的優(yōu)勢在于，它能夠提供一個(gè)隨頻率變化的時(shí)間窗口，以致從時(shí)間和頻域的局部信息中，經(jīng)伸縮平移運(yùn)算和多尺度的分析，有效地提取相關(guān)信息。

卡爾曼濾波法是利用觀測量的歷史值和當(dāng)前測值進(jìn)行比對，然后對狀態(tài)變量的估計(jì)進(jìn)行修正，并推測出下一時(shí)刻的估計(jì)值，在保證均方誤差最小的情況下，不斷地修正系統(tǒng)的狀態(tài)向量。該方法適合于實(shí)時(shí)在線處理，因?yàn)樗芟S機(jī)干擾，還原系統(tǒng)原貌。

Prony分析方法是建立在傅里葉算法的基礎(chǔ)上，當(dāng)研究人員不知道系統(tǒng)模型時(shí)，不需要進(jìn)行繁復(fù)的矩陣運(yùn)算，直接將輸出信號數(shù)據(jù)擬合成為指數(shù)函數(shù)的線性組合，并據(jù)此提取幅值、相位、頻率、衰減因子等機(jī)電振蕩參數(shù)。該方法適于大規(guī)模動態(tài)系統(tǒng)的辨識，是基于軌跡辨識的分析中應(yīng)用較為廣泛的一種方法。由于Prony分析方法抗噪聲干擾能力較弱，對信號的要求比較高，通常與其他濾波方法配合使用，以期提高辨識精度，但這樣也會增加計(jì)算時(shí)間，犧牲計(jì)算速度。

基于軌跡辨識的機(jī)電振蕩分析方法不僅不依賴于元件的模型與參數(shù)，而且克服了大系統(tǒng)不容易線性化的困難，因而備受科研人員的親睞。

四、非線性分析方法

電力系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷較重或遇到大擾動時(shí)，系統(tǒng)的非線性特征較為明顯，這時(shí)基于線性化的理論方法的適用性便大打折扣了。有學(xué)者提出了考慮高階模式相互影響的電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩分析方法，主要有正規(guī)形方法、模態(tài)級數(shù)法、混沌和分岔理論。

1.正規(guī)性方法

向量場正則形理論于20世紀(jì)20年代由法國數(shù)學(xué)家Poincare提出，這種方法是將非線性微分方程組的奇點(diǎn)或不動點(diǎn)附近經(jīng)光滑變換，以二階或更高階的等價(jià)的方式把向量場或微分同胚轉(zhuǎn)換為另一空間的線性系統(tǒng)，本質(zhì)是求非線性微分方程泰勒展開的二階及以上的高階解析解，是簡化常微分方程和微分同胚的重要工具。向量場正規(guī)性方法是線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的一個(gè)紐帶，能使相關(guān)人員更好地理解系統(tǒng)不同模式間的相互作用，以及這種作用是如何影響系統(tǒng)狀態(tài)的。

20世紀(jì)90年代后，正規(guī)形的方法在估計(jì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定域、系統(tǒng)解列分析、機(jī)電振蕩等領(lǐng)域的分析中得到了應(yīng)用。[4]當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生機(jī)電振蕩時(shí)，尤其是區(qū)間振蕩時(shí)，系統(tǒng)機(jī)電振蕩模式間有很強(qiáng)的相互作用，大大提升了系統(tǒng)的非線性。采用線性化理論制造的電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制器對系統(tǒng)通過不同模式經(jīng)非線性作用耦合生成的模態(tài)的抑制作用十分有限，因而應(yīng)用正規(guī)形理論在系統(tǒng)非線性程度不同時(shí)，對控制器做出不同程度的修正是十分必要的。

用正規(guī)性方法研究電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩，將系統(tǒng)機(jī)電振蕩響應(yīng)和不同模式間的非線性作用聯(lián)系在一起，加深了相關(guān)人員對于機(jī)電振蕩本質(zhì)的理解，能夠使之辨識系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式與其他振蕩模式的非線性關(guān)系，對機(jī)電振蕩的抑制和電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

2.分岔理論

對于有限維歐式空間Rn上的含參數(shù)的連續(xù)非線性動力系統(tǒng)

（1）

當(dāng)一微小的擾動導(dǎo)致參數(shù)μ連續(xù)變化時(shí)，給定動力系統(tǒng)（1）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在μ0處發(fā)生突然的變化，系統(tǒng)的流形不能連續(xù)時(shí)，稱系統(tǒng)在μ=μ0處發(fā)生分岔。出現(xiàn)分岔時(shí)，系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)有突然地改變，它是非線性系統(tǒng)內(nèi)部固有的一種特性。

分岔理論的主要內(nèi)容，就是研究非線性方程解的數(shù)目和系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如何在參數(shù)變化過程中發(fā)生突變。非線性動力系統(tǒng)的分岔主要有平衡點(diǎn)分岔、異宿分岔、同宿分岔、周期解分岔、Holf分岔以及鞍結(jié)分岔等。

分岔和系統(tǒng)的穩(wěn)定性息息相關(guān)，部分科研人員在電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，采用了分岔理論中的Holf分岔、鞍結(jié)分岔等分岔方法，在鐵磁諧振、風(fēng)電系統(tǒng)控制、電壓穩(wěn)定性分析、無功優(yōu)化、HVDC系統(tǒng)靜動態(tài)特性研究等方面，取得了一定的積極成果。在電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩時(shí)，系統(tǒng)雅克比矩陣的一對共軛特征值分布在虛軸上，平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)周期軌道，也就是極限環(huán)。系統(tǒng)等幅振蕩時(shí)出現(xiàn)的是穩(wěn)定的極限環(huán)，增幅振蕩時(shí)出現(xiàn)不穩(wěn)定的極限環(huán)。分岔理論為研究電力系統(tǒng)的機(jī)電振蕩提供了一條新的途徑。

3.混沌理論

混沌是自然界普遍存在的一種運(yùn)動形式，混沌理論建立以后，迅速滲透到各個(gè)學(xué)科當(dāng)中，推動了現(xiàn)代知識體系的變革。混沌理論是關(guān)于非線性系統(tǒng)整體性質(zhì)的科學(xué)，給出混沌理論在數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x是困難的，在不嚴(yán)格的意義上，一個(gè)系統(tǒng)既對初值敏感又出現(xiàn)非周期的運(yùn)動，即可認(rèn)為該系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)中。混沌現(xiàn)象是內(nèi)部的確定性因素在初始條件微小變化的條件下，在宏觀上所表現(xiàn)出來的無序和隨機(jī)的表象。

混沌運(yùn)動是確定性非線性系統(tǒng)的特有現(xiàn)象，確定性非線性動力系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)處于某一范圍時(shí)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動，在其他情況下仍然表現(xiàn)為通常的確定性運(yùn)動。確定性運(yùn)動系統(tǒng)在出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象、周期和混沌交替變化的陣發(fā)運(yùn)動、KAM環(huán)面破裂、準(zhǔn)周期運(yùn)動等情況下能夠進(jìn)入到完全的混沌狀態(tài)。

混沌涉及的問題廣泛，在分岔導(dǎo)致混沌、奇怪吸引子、陣發(fā)性混沌、分維和多位動力系統(tǒng)方面有很多問題值得研究。電力系統(tǒng)的非線性特性在一定參數(shù)條件下可以產(chǎn)生混沌運(yùn)動，混沌理論可以廣泛應(yīng)用在電力系統(tǒng)的相關(guān)研究中，如：鐵磁諧振系統(tǒng)非線性補(bǔ)償控制、配電網(wǎng)的重構(gòu)、負(fù)荷混沌優(yōu)化組合預(yù)測、同步發(fā)電機(jī)混沌振蕩抑制、電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩的阻尼等。

混沌理論在電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面的研究中才處于起步階段，深入研究混沌理論及其控制方法，將會對抑制電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩起到積極的作用。

五、結(jié)語

機(jī)電振蕩的分析方法和控制器的設(shè)計(jì)目前仍然采用主流的線性化理論。本文總結(jié)歸納了電力系統(tǒng)非線性特性的機(jī)電振蕩研究方法，有利于在穩(wěn)定性分析計(jì)算和控制設(shè)計(jì)中，更有效地考慮非線性因素影響，為機(jī)電振蕩的研究提供嶄新和切實(shí)有效的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙雅博，張毅威，陳磊，等.電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩的非線性現(xiàn)象[J].電網(wǎng)技術(shù)，2012，（10）：172-177.

[2]吳復(fù)霞，吳浩，韓禎祥，等.電力系統(tǒng)非線性模式分析方法的比較[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27（34）：19-25.

[3]劉溟.互聯(lián)電網(wǎng)低頻振蕩分析及其對策的探討[J].華中電力，

2002，15（4）：14-17.

[4]李穎暉，張保會.正規(guī)形理論在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中的應(yīng)用一從非線性系統(tǒng)到線性系統(tǒng)的映射[J].電力自動化設(shè)備，2003，23（6）：1-5.

（責(zé)任編輯：宋秀麗）