在數學建模中利用模式識別滲透孔子教學思想

湯林華

摘 要：春秋時期孔子就采用了諸如分層教學、小組教學、現場教學等多種教學方法，將孔子教學的方法滲透進數學建模中，在數學應用題教學中有意識地運用這些教學思想，并使學生親身參與分析問題、解決問題的整個過程，不斷提出新的解決方案，構建新的模型，可以提高學生對應用性問題的透視解決能力，本文從數學建模的解決中談談滲透孔子教學思想。

關鍵詞：孔子教學思想；模式識別；小組教學；次相教學；應用建模

孔子教學思想是我國古代教育思想的典型，其采用豐富多彩的教學形式，如：隨機教學、小組教學、分層教學、次相教學、集體教學等等，使得其在教學中做到了左右逢源，得心應手，從而培養出了子路等一大批在當時著名的弟子。 他的這些教學形式主張“時習”要達到“行之不已”，對中國后世的教育家影響深遠，從而把中國古代學習過程及其結構模式熟化而鞏固下來。

數學建模（應用問題）是新課程改革后教材的重點，無論是必修教材還是選修教材，每章每節中有很多應用問題出現，甚至有些問題達到了一定數學建模的基礎，隨著各地高考以教材為主這一原則的深化，教材中那些基本問題越來越為教師重視。 高中數學中的數學建模思想比較淺，更多的是圍繞數學應用背景展開的一些數學問題，經過處理包裝，成為一個生活中的實際問題，偶有問題也能參與建模的思想。 因此我們在教學中要重視與學生生活實際相關的應用問題和建模問題，結合孔子的多種教學思想，通過解決問題，進而“生長”出新的知識經驗。本文從獨特的視角，淺析在應用型問題或建模中如何利用模式識別滲透孔子教學思想，將數學知識傳授的同時，也融入人文、數學美等陶冶學生的情感。

[?] 小組教學解決應用建模問題

通過常年實踐，筆者認為數學應用性問題結合孔子的教學形式，認識識別數學模型是解決問題的主要方法，根據學習模式，數學建模（或應用型問題）求解依舊是模式識別的一種體現。 在數學解題教學中有意識地滲透、識別模型，并親身參與分析問題、解決問題的整個過程，不斷提出新的解決方案，構建新的模型，將有助于提高對應用性問題的透視解決。

案例1 （分期付款小組教學）現在某人向建設銀行申請個人住房公積金貸款20萬元，期限為20年。 假定在月初借款，從該月末開始每月以按揭形式還款。若他想節省一些利息支出，請問他應選擇等額法還是遞減法還款？說明理由。他每月應歸還多少元錢？

模式識別：筆者把班級分成四組，派代表深入一線調查，并與銀行有關工作人員咨詢，對獲得的大量第一手資料進行分析、歸納、討論并深刻思考，精心準備。 在課上他們侃侃而談，在了解銀行術語、還法的計算后，對問題做相應的數學化處理，通過模式識別轉化成我們較為熟悉的問題——數列知識中等比數列求和與等差數列求和的運用。

孔子思想：“閔子侍側，訚訚如也；子路，行行如也；冉有、子貢，侃侃如也。” 這是《先進》篇所描述的孔子的一次小組教學，在此教學情景中，他們求理達真、發展思維。

分析數據：如何數學化呢？各小組了解到：

①我國目前公積金貸款6～30年的年利率是：4.05%，相應的月利率為3.375%。

②銀行個人住房貸款的還款方式主要有兩種：一種是等額本息還款法；另一種是等額本金還款法。

各小組在與全班學生共同探討中明確了等額法還款與遞減法還款法各量之間的關系，經處理后的實際問題，轉化為下列數學問題：

③按等額法還款數學模型

設貸款本金為A，r為月利率，還款總期數為m個月，則到m月末的本利和是A（1+r）m。 再設每月還款數為a，則到m月末的本利合計為a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a。由a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a=A（1+r）m，得a=. （1）

④按遞減法還款數學模型

設第k個月末的還款數為bk，其中1≤k≤m，則每月平均歸還貸款本金為。 由于第k-1個月末已歸還的本金累計額為（k-1），故在第k個月末時，應歸還每月平均貸款本金以及剩余本金所產生的利息之和，即bk=+Am（k-1）]r. （2）

還款總額的理論比較（相應的數學模型）

設按等額法還款和遞減法還款的累計總額分別為S1，S2，根據（1），（2），

有S1=ma=·m， （3）

S2=bk=·m+

mA-[1+2+…+（m-1）]

·r=A+

mA-·A

·r=·（2+mr+r）. （4）

接下來由研究小組的學生主持研討，比較大小，其他學生感到新奇有趣，參與精神強烈，求知欲望高漲，完全體現了學生在學習中應有的積極主動的狀態，完全把教師“曬“在一邊。

由（3）（4）可知，

S1-S2=-（2+mr+r）=·[（mr-r-2）（1+r）m+2+r+mr]。

因為A>0，r>0，m≥1，所以>0。 下面討論（1+r）m≥1+mr（當且僅當m=1時取等號），令f（x）=（1+x）m-（1+mx），其中x>0，則f′（x）=m（1+x）m-1-m=m[（1+x）m-1-1]≥0，所以f（x）單調遞增，f（x）≥f（0）=0，即（1+r）m≥1+mr，當且僅當m=1時取等號。

于是S1-S2≥（mr-r-2）（1+mr）+2+r+mr=m（m-1）r2≥0，即S1≥S2（當且僅當m=1時取等號）。

因此，從理論上回答了為什么多數人選擇按遞減法還款。 通過這節數學應用課，激發了學生的濃厚數學興趣，使他們感受到數學建模在解決應用題中的作用，懂得數學學習必須理論聯系實際，只有做到學習為了用才真正能感受到數學學習的無窮樂趣。 筆者認為，盡管問題的模型很粗糙，與真正的建模有一定差距，但對學生來說是自覺的，是得到他們全部經驗和有智慧支持的，因而是充滿活力的。

[?] 次相教學解決應用建模問題

孔子是中國古代次相教學的首倡者，這種教學形式簡便易行、不拘一格、生動形象，有耳濡目染之效，是一種接觸現實、了解實際、回歸自然的好形式，又是一項重要的社會實踐活動。 要培養學生的建模能力，必須讓他們從身邊事討論，讓他們身臨其境，加深感受，由難變易，從而順利進行初步建模教學。

案例2 （貨幣時間價值應用建模）超市開進校園在南通已不是新鮮事，常有學生抱怨價格高，殊不知商家賺錢也不容易，雙休日里雖沒有什么收入，但固定的開支可一樣不少。 某超市公司在我校開設連鎖店，每月租金、員工工資、設備損耗等固定成本為2萬元。 每進貨價值千元的商品，從進貨到上架銷售需25元額外費用。 經過一段時間試營業后，公司發現學校內消費群體相對固定，且每天在超市有總量不低于2千元但又不超過3千元的消費，每月平均可以保證有22個正常營業日。 公司打算在該連鎖店每月賺得1萬元的利潤，問進價價值千元的商品，應以多少元零售出售？

模式識別：按問題需要設未知數，列出單價、銷售與利潤的關系公式，主要涉及一次函數，需要對實際問題進行合理簡化。

孔子思想：次相教學即由教師傳授于高足弟子，再由高足弟子代教師向其他門徒進行教學的形式，孔子是最早的倡導者和使用者。 這種“即知即傳人”的“連環教學法”，可促進學生的求知欲。 故問：“同學們能否再從我們身邊提煉出一個實際問題，解決問題的方法與以上類似呢？”

分析提煉：上面問題中的校園超市中，一種紙盒裝1000毫升牛奶標價6.9元，問該品種牛奶進價約多少元？（從學生身邊的問題入手，讓其充分認識建模的結構，激發學生的好奇心和興趣，利于學生主動參與活動和創造意識的培養）

情景問題：（學生A）

某軟件公司開發出一種新的圖書管理軟件，投入前期開發費用2萬元，正式投入市場前廣告宣傳、到圖書館銷售等費用2萬元，制成光盤，每套3盤，每盤各種成本合計8元，圖書館購買后還需安裝調試費用200元。 經過宣傳，有62家圖書館機構愿意購買。 問軟件公司如何定價可以確保不虧本，并寫出按此定價銷售的銷量x和利潤L的函數關系。

情景變式：（學生B）

上面問題中的軟件公司準備從該軟件中賺得2萬元，以投入新產品的開發。公司已了解到市場上剛剛出現國外與該圖書管理軟件性能相似的軟件，銷售高達1900元，你認為作何種策略？（學生將會提出不同的方案）

建立數學模型不完全是為了解決模型的原問題，更有意義的還在于解決具有原型特征的其他許多實際問題。 孔子其教學場所不只限于今日課堂之內，于生活中到處都留下了他教學的足跡，使學生時時處處受教育，聯想實際特征，這樣的教學才會有利于學生形成高層次的建模能力。

總之，數學建模能力的結構層次是互相聯系的，下層為上層基礎的統一體，層面上有時不能絕對區分，是互相滲透的，但有一點可以肯定，只有深入體驗，耳濡目染，以孔子的無形教育為輔助，頭腦中需要通過快速模式識別進行基礎知識的還原和本質的感悟，搞清楚數學建模能力的結構，教學中才會有的放矢地進行針對性培養處理，數學建模能力才會給人一種“實質”的感覺。 限于篇幅，有關其他教學形式不再贅述。