江蘇高考函數類數學建模試題剖析

姜業鋒

用數學建模思想來分析江蘇高考函數類數學題，能夠幫助學生了解高考函數，指導他們解決生活中有關函數的問題.結合近幾年江蘇高考數學函數類試題，本文總結出了四類考點.

一、函數的概念、性質及其應用

【例1】請你設計一個包裝盒，如圖1所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm2）最大，試問x應取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

解析：本題考查函數的概念、最值等基礎知識，

通過空間想象和閱讀，來解決實際問題.

設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），

由已知得

a=2x，h=60-2x2 =2（30-x），0

（1）S=4ah=8x（30-x）=8（x-15）2+1800，所以當x=15時，S取最大值.

（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x·（20-x），由V′=0得x=0（舍）或x=20.

當x∈（0，20）時，V′>0；當x∈（20，30）時，V′<0.所以當x=20時，V取最大值，此時ha=12 ，即包裝盒的高和地面邊長的比值為12 .

二、基本函數的圖像和性質

【例2】函數f（x）=Asin（wx+φ）（A，w，φ是常數，A>0，w>0）的部分圖像如圖2所示，求f（0）的值.

解析：本題考查三角函數的圖像及其性質.

由圖像可知，函數圖像過點（π3，0） ，（7π12 ，-2），

又A>0，w>0，

可知T4 =7π12 -π3 ，

解得T=π=2πw ，得w=2.

又函數圖像的最低點是（7π12，-2 ），故A=2.

根據2sin（2×7π12 +φ=-2）

，可得φ=π3 .

所以f（0）=2sinπ3=62 .

三、方程根的問題

【例3】已知a，b，c，d是不全為0的實數.函數f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0有實根，且f（x）=0的實數根都是g（f（x））的根，反之g（f（x））=0的實數根都是f（x）=0的根.（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范圍.

解析：本題主要考查函數方程根問題，可以運用分類討論和等價轉化的方法.

（1）設r為方程的一個根，即f（r）=0，由題可知g（f（r））=0，則g（0）=d=0.所以d=0.

（2）由（1）知d=0，所以當a=0時，f（x）=0，g（f（x））=0，則f（x）=x（bx+c）=0，g（f（x））=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0，

a，b，c，d是不全為0的實數.

（i）當c=0，b≠0時，符合題設；

（ii）當c≠0，b=0時，符合題設；

（iii）當c≠0，b≠0時，f（x）有x1=0，x2=-cb ，也是方程g（f（x））的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的實數根.故此方程無實數根，則此方程的判別式Δ=（bc）2-4b2c<0，得0

綜上所述，c的取值范圍是[0，4）.

四、函數的零點

圖3

【例4】函數f（x）=x-cosx在[0，+∞）內（）.

A.沒有零點

B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點

D.有無窮多個零點

解析：判斷函數在區間上是否存在零點時，有三種情況：能直接求出零點時，直接求出判斷；不能直接求出零點時，據存在性定理判斷；用零點存在性定理無法判斷時，畫出圖像判斷.

（責任編輯金鈴）