構造圖形，讓有理數的學習更精彩

吳慧琳

“有理數”是學生從小學階段的算術到代數的過渡重要階段，其中有理數的計算，既是實數運算的基礎和依據，也是代數式四則運算的重要基礎.進入初中的學生年齡大都是11至12歲，這個年齡段學生的思維正由形象思維向抽象思維過渡.思維的不穩定性以及思維模式的尚未形成、方法的掌握極其重要.圖形的構造，就是解決此類問題的一個極佳的橋梁.

一、等差數列的求和

在初一年級，等差數列的求和公式并未推導，如遇到等差數列的求和時，除了推導出等差數列求和公式再用其求解外，還可構造圖形求解.

【例1】求1+2+3+4+…+n的值，其中n為正整數.

對于這個求和問題，如果采用純代數的方法（首尾相加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進行討論.如采用數形結合的方法，借助圖形的性質來說明，那就非常直觀了.

方法如下：如圖1，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形.此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為n（n+1）2 ，即

1+2+3+4+…+n=n（n+1）2 .

此題也可拓展為求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數.

圖1

方法一：作出一個平行四邊形，平行四邊形的邊長分別為2n，n；則組成一個平行四邊形小圓圈的總個數為n×2n個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為n×n，即

1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

圖2

方法二：作出一個正方形（如圖2），它的邊長為n，此時小圓圈的總個數為：n×n=n2，即1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

二、等比數列的求和

在初一年級，等比數列的求和公式并未推導，且推導較為復雜，其中涉及有理數的乘方，初一學生還未曾學到，因此構造圖形求解是極佳的求解方法.

【例2】求12 +14 +18 +116 +…+12n

的值，其中n為正整數.

圖3

方法如下：分析數據，如圖3所示，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12 的長方形，接著把面積為12 的長方形等分成兩個面積為14 的正方形，再把面積為14 的正方形等分成面積為18 的長方形，如此進行下去……利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即可.由此可得：

12 +14 +18 +116 +…+12n=1-12n.

此題的作圖方法也可表示為：

圖4圖5

圖6圖7

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數學學習中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透，由數思形，以形思數.因此，復雜的有理數計算正因為有了圖形的構造，而顯得精彩紛呈！

（責任編輯黃春香）