一元二次方程中的重要結論在中考中的應用

余旭紅

數學解題能力的提高，需要借助豐富的解題經驗.適當記住一些簡潔的結論，可以快速抓住問題的本質，簡化思維過程，提高解題效率.

在學習一元二次方程的過程中，我們可以得到下面的結論：

分析：若將b4-2b2-1=0變形為（-b2）2+2×（-b2）-1=0，這樣兩個方程就有相同的結構，以便利用結論二求解.

解：將b4-2b2-1=0變形為（-b2）2+2×（-b2）-1=0.

由a2+2a-1=0，（-b2）2+2×（-b2）-1=0，

當a≠-b2時，a、-b2可視為一元二次方程x2+2x-1=0的兩根.

說明：本題也可先將已知兩式左右兩邊分別相減，得（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，整理得（a-b2+2）（a+b2）=0.所以a-b2+2=0或a+ b2=0.當a-b2+2=0時，b2=a+2，此時1-ab2= 1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1）=0，與已知條件“1-ab2≠0”相矛盾，所以a-b2+2≠0.當a+ b2=0，即a=-b2時，解法同上.

例3 （2012年四川內江）如果方程x2+ px+q=0的兩個根是x1、x2，那么x1+x2=-p x1x2=q.請根據以上結論，解決下列問題：

（1）已知關于x的方程x2+mx+n=0 （n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數；

分析：本題若按常規方法，需要先求出一元二次方程x2-4x-3=0的兩實數根，然后再將兩實數根代入（α-3）（β-3）求值，運算量大且易出錯.而直接運用結論四，則非常簡捷.

解：由結論四得x2-4x-3=（x-α）（x-β）.

令x=3，得32-4×3-3=（3-α）（3-β），

即-6=（α-3）（β-3）.

所以（α-3）（β-3）=-6.