巖石廣義非線性統一強度理論

摘要： 廣義HoekBrown強度準則廣泛用于巖石工程，但其沒有考慮中間主應力效應.為此，根據雙剪模型和廣義HoekBrown強度準則，建立了廣義非線性統一強度理論.該理論的極限面覆蓋了全部外凸區域，構成巖石材料在主應力空間的全部極限面，廣義HoekBrown強度準則和巖石廣義非線性雙剪強度準則是其特例.廣義非線性統一強度理論的內邊界是廣義HoekBrown強度準則，外邊界是巖石廣義非線性雙剪強度準則，其間是一系列新的極限面.廣義非線性統一強度理論可以將統一屈服準則、統一強度理論、巖石非線性統一強度理論聯系在一起.

關鍵詞： 巖石強度理論；雙剪模型；統一強度理論；廣義HoekBrown強度準則

中圖分類號： TU452； O346文獻標志碼： AGeneralized Nonlinear Unified Strength Theory of RockZAN Yuewen1，YU Maohong2

（1. School of Geosciences and Environmental Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 2. Department of Civil Engineering， Xian Jiaotong University， Xian 710049， China）

Abstract：The generalized HoekBrown strength criterion is used widely in rock engineering. The effect of the intermediate principal stress， however， is not taken into account in the HoekBrown criterion. The twinshear models and the generalized HoekBrown strength criterion were generalized and combined into a generalized nonlinear unified strength theory. The serial limit surfaces of the generalized nonlinear unified strength theory cover the whole convex region， and encompasses the generalized HoekBrown strength criterion and the generalized nonlinear twin shear strength criterion as two special cases. In the stress space， the inner bound of limit surface of the generalized nonlinear unified strength theory is the generalized HoekBrown strength criterion， and the outer bound is the generalized twin shear strength criterion. A series of new limit surfaces cover the all region between these two bounds. As a result， the unified yield criterion， the unified strength theory， the rock nonlinear unified strength theory can be linked with the generalized nonlinear unified strength theory.

Key words：rock strength theory； twin shear model； unified strength theory； generalized HoekBrown strength criterion

在巖石地下工程和巖石邊坡工程中，巖體強度是工程設計的重要參數，它關系到工程的經濟性和安全性.巖體既是一種天然形成的多種成因的特殊地質體，不同成因的巖石強度相差很大；又是一種自然形成的結構體，巖體內存在大量的不連續面和節理面.由于巖體強度在巖石工程中的重要性和巖石材料的特殊性，一直是巖石力學界關注的問題[1].巖石的強度理論是研究巖體強度的基礎.巖石力學是比較年青的學科，最初引用金屬強度（屈服）理論和土體強度理論，后來發現巖石拉壓強度相差很大，靜水應力的大小影響巖石材料脆塑性破壞等性質，金屬材料的一些屈服準則如Tresca屈服準則、Mises準則不適合巖石材料.巖石材料多數為脆性破壞[2]，又引用了斷裂力學的Griffith強度理論，但發現Griffith強度理論預測出的強度偏小.所以將土力學的MohrCoulomb強度理論用于巖石材料.但大量巖塊軸對稱三軸試驗資料表明，巖石莫爾破壞包絡線不是直線，而是曲線，并且在拉應力區與MohrCoulomb理論不符，為此提出了許多經驗準則和修正的MohrCoulomb強度理論強度準則.在眾多的經驗準則[3]中，HoekBrown強度準則[4]和廣義HoekBrown強度準則[5]被工程所接受，在巖石邊坡和地下工程中廣泛采用.

巖石強度理論是研究巖石在復雜應力狀態下的破壞規律.HoekBrown強度準則是以巖石三軸等圍壓試驗結果為基礎提出來的，它忽略了中間主應力的影響，不能代表巖石在三向應力狀態下的強度理論.俞茂宏提出的統一強度理論[6]能夠較好地反映材料在三維應力狀態下的屈服破壞面.本文按照統一強度理論的建立方法，以廣義HoekBrown強度準則的數學表達式為基礎，建立適合軟、硬巖石材料的三向應力狀態下的巖石強度理論.西南交通大學學報第48卷第4期昝月穩等：巖石廣義非線性統一強度理論1雙剪模型與數學建模統一強度理論[67]將復雜應力的常用變量從主應力轉換為主剪應力，并按照3個主剪應力中只有2個獨立變量的規律，提出了雙剪思想，構造了2個新的單元體模型——雙剪力學模型（圖1）.

圖1俞茂宏的雙剪模型[7]

Fig.1The twinshear models proposed by Yu Maohong[7]

用與這2個雙剪力學模型相對應的2個數學方程進行數學建模.這種用2個方程的數學建模方法解決了中間主剪應力大小的判斷問題，用實驗方法確定數學模型中的常數，得到統一強度理論的數學表達式.

考慮到巖石脆性破壞主要是拉裂、劈裂和剪切破壞，破壞角的大小主要受σ2和σ3的影響，脆韌性轉換與σ2和σ3的大小有關[8].在圖1的雙剪力學模型上再次截取，截取出來的單元體上包含σ2和σ3.新的模型見圖2.

當σ2≤（σ1+σ3）/2時，圖2（a）包括了2個剪應力、2個正應力和主應力σ2和σ3；當σ2>（σ1+σ3）/2時，圖2（b）包括了2個剪應力、2個正應力和主應力σ3.

圖2雙剪模型[9]

Fig.2Proposed twinshear models[9]

與圖2中2個雙剪力學模型相對應的2個數學方程為

F=f（τ13，τ12，σ13，σ12，σ3，σ2），F≥F′；（1a）

F′=f′（τ13，τ23，σ13，σ23，σ3），F′>F.（1b）

材料屈服破壞時應力狀態的數學表達式可以是兩函數括號內各變量的線性或非線性組合，線性組合得到統一強度理論，非線性組合得到非線性統一強度理論.2巖石廣義非線性統一強度理論的數學表達式基于圖2的雙剪模型，引入材料的中間主應力效應參數b，不考慮單元體內2個正應力對材料破壞的影響，假定材料破壞時單元體內2個剪應力與2個或1個較小主應力之間滿足下列數學表達式：

F=τ13+bτ12+

Abσ2+σ31+b+Cβ=0，τ12≥τ23；（2a）

F′=τ13+bτ23+

（Aσ3+C）β=0，τ23>τ12.（2b）

用主應力表示（壓應力為正），并滿足單軸抗壓試驗和單軸抗拉試驗，即σ1=σc，σ2=σ3=0代入式（2a），令σ3=-σt，σ2=σ1=0，代入式（2b），整理得：

F=σ1-11+b（bσ2+σ3）-

σcmσc（1+b）（bσ2+σ3）+1β=0，

F≥F′；（3a）

F′= 11+b（σ1+bσ2）-σ3-

σcmσcσ3+1β=0，F′>F，（3b）

式中：σc為單軸抗壓強度；σt為為單軸抗拉強度；m=1-α1/βα，當β→0，由于α=σtσc1，所以m→1/α=σcσt.

式（3a）和（3b）就是巖石廣義非線性統一強度理論的數學表達式，它最早提出于2001年[8]，崔科宇、章敏、王星華已將其用于嵌巖樁樁端極限承載力的計算[10].3巖石廣義非線性統一強度理論的特性巖石廣義非線性統一強度理論的數學表達式式（3a）和（3b）中，當 b=0時，兩式相等，變成了完整巖石的廣義HoekBrown強度準則[3]：

σ1-σ3=σcmσ3σc+1β.（4）

即廣義HoekBrown強度準則是廣義非線性統一強度理論的一個特例——Hoek和Brown于1980年針對完整的、粘聚力很高的巖石和巖體提出的HoekBrown強度準則.為了使其強度準則更具普遍性和實用性，覆蓋所有類型的巖體，Hoek和Brown在1997年又提出了廣義HoekBrown 強度準則[5]，其表達式為：

σ1-σ3=σcmbσ3σc+sβ，（5）

式中：σc為完整巖石的單軸抗壓強度；mb為完整巖石常數m的折減值；s、β為巖體常數.

2002年，Hoek提出上述參數用以下諸式估算[11]：

mb=mexpGSI-10028-14D，（6）

s=expGSI-1009-3D，（7）

β=12+16e-GSI/15-e-20/3，（8）

式中：GSI為地質強度指標（GSI）；D為巖體擾動參數.

參數GSI、D和m的選取請參考文獻[11].對于完整巖石，s=1，mb=m.

巖石廣義非線性統一強度理論的數學表達式（3a）和（3b）中，當b=1.0時，是一個新的強度準則，稱為廣義非線性雙剪強度準則：

F=σ1-12（σ2+σ3）-

σcm2σc（σ2+σ3）+1β=0，F≥F′；（9a）

F′=12（σ1+σ2）-σ3-

σcmσcσ3+1β=0，F′>F.（9b）

如果不考慮中間主應力效應的區間性，僅用式（9a），就成為B Singh等提出的強度準則[12].

巖石廣義非線性統一強度理論的破壞面可以用F（J2，I1，θ）=0的形式表示：

F=21+bsinθ+π3-bsinθ-π3J2-

σc2m3σc（1+b）bcosθ-2π3+

cosθ+2π3J2+m3σcI1+1β=0，

F≥F′；（10a）

F′=21+bsinθ+π3+bsin θJ2-

σc2m3σccosθ+2π3J2+m3σcI1+1β=0，

F′>F.（10b）

統一強度理論[6]的子午線是直線，巖石非線性統一強度準則[1314]的子午線是曲線，而巖石廣義非線性統一強度理論的子午線則隨著β從1變化到0.5 而由直線變為曲線.巖石廣義非線性統一強度理論在主應力空間極限面的形狀如圖3（拉應力為正；下同）所示.在π平面上，極限線（圖4）可以從下限b=0到上限b=1.0，b可以從0連續變化到1.0，具有較強的適應性.下限b=0是廣義HoekBrown強度準則的極限線；上限b=1.0則是廣義非線性雙剪強度準則的極限線.在二者之間，包含了一系列強度準則.

巖石非線性統一強度理論、巖石廣義非線性統一強度理論和統一強度理論都存在角點奇異性的問題，但在數值計算時，可按照俞茂宏提出的角點奇異性的統一處理方法進行處理[1516].

圖3巖石廣義非線性統一強度理論在

主應力空間極限面的形狀（0≤b≤1.0）

Fig.3The limiting surface of the generalized nonlinear

unified strength theory in the principle stress space圖4巖石廣義非線性統一強度理論的

極限面在π平面上的跡線

Fig.4Limit loci of the generalized nonlinear

unified strength theory in the π plane4巖石廣義非線性統一強度理論中參數的物理意義廣義非線性統一強度理論中的參數σc、m、β與廣義HoekBrown強度準則中參數的意義相同.首先討論β的物理意義.Kumar推導出廣義 HoekBrown強度準則的τσ表達式[17]：

τσc=cos 21+sin ββmσσc+1β，（11）

σσc=σ3σc+σ1-σ3σc2+mβσ1-σ3σcβ-1β .（12）

為瞬態摩擦角，其物理和幾何意義見圖5.參數β對剪切強度的影響見圖6，β從0.5到0.6，增大.如果巖石的基本內摩擦角為φ，剪切面上的粗糙角（剪脹角）為i，即=φ+i，則

τ=σtan（φ+i）.（13）

參數β對剪切強度的影響實質上是提高剪脹角i，因此它反映了巖石剪切破壞時的剪脹特性，具有明確的物理意義.Yoshida通過統計18種巖土材料的三軸壓縮試驗資料得出[18]：β在0.1～1.0之間變化，硬巖的β值在0.5左右，而軟巖的β值0.75左右.G Mostyn和K J Douglas的研究結果表明，β值與巖石的σc關系不大，而與巖石的m值關系較大：m越小，β值越大；m越大，β值越小.

廣義非線性統一強度理論包含了材料強度、材料脆性和材料剪切破壞時的剪脹性等參數，較好地表達了巖石材料強度的基本特性.

圖5的物理和幾何意義[17]

Fig.5Physical and geometrical significances of angle

圖6參數β對剪切強度的影響[17]

Fig.6Effect of parameter β on shear strength

5巖石廣義非線性統一強度理論的蛻變巖石廣義非線性統一強度理論可以蛻變為其它強度理論.

當β=0，σc=σt=σs（σs為金屬類材料的屈服應力）時，巖石廣義非線性統一強度理論變為統一屈服準則[6].統一屈服準則可以描述拉壓強度相同的金屬類材料在復雜應力條件下的強度變化規律.統一屈服準則包含了Tresca屈服準則（b=0）、Mises屈服準則的線性逼近（b=0.366）和雙剪屈服準則（b=1.0）.

當β=0.5時，巖石廣義非線性統一強度理論退化為巖石非線性統一強度理論[13].巖石非線性統一強度理論已廣泛應用于巖石力學分析[1931].

當β=1.0時，巖石廣義非線性統一強度理論退化為統一強度理論[6].統一強度理論包含了MohrCoulomb強度理論（b=0）.而MohrCoulomb強度理論在土力學中應用最廣.

當0<β<1.0時，廣義非線性統一強度理論包含了許多新的強度準則.尤其在0.5<β<0.75的范圍， 是適合于軟巖的強度準則.巖石廣義非線性統一強度理論與其他強度理論之間的關系見圖7.

圖7巖石廣義非線性統一強度理論與其他強度理論之間的關系

Fig.7Relationship between the generalized nonlinear unified strength theory and other strength theories

6巖石廣義非線性統一強度理論的論證巖石廣義非線性統一強度理論的理論基礎是俞茂宏的統一強度理論和廣義HoekBrown強度準則.

統一強度理論是人們多年研究的一個期望，早在19世紀末和20世紀初人們就已提出希望，但是并未實現，被認為是一個不可能的難題.統一強度理論的出現需要堅實的理論基礎和漫長的發展過程.這個理論的基礎就是著名塑性力學家、美國科學院院士Drucker于1951年提出的Drucker公設及其相應的加載面的外凸性.強度理論研究材料一次加載過程所達到的極限值，符合外凸性的要求.由此，強度理論研究有了堅實的理論基礎和相應的框架范圍.在Drucker公設提出之前50年（1900年）出現的MohrCoulomb強度理論是這個框架的內邊界.1985年，俞茂宏提出的雙剪強度理論是這個框架的外邊界（圖8），這是第1次對理論框架的完善.1991年俞茂宏提出的統一強度理論，則是第2次對理論框架的完善.因為統一強度理論將內邊界的單剪強度理論和外邊界的雙剪強度理論以及兩邊界之間大片區域的可能準則聯系了起來（見圖9）.

圖8π平面上強度理論極限線的邊界與區域[6]

Fig.8Limit loci bounds and regions of

strength theories in the π plane

錢七虎院士對統一強度理論評價認為：“單剪理論進一步發展為雙剪理論，而雙剪理論的進一步發展為統一強度理論，單剪、雙剪理論及介于兩者之間的其他破壞準則都是統一強度理論的特例或線性逼近.因此可以說，統一強度理論在強度理論發展史上具有突出的貢獻.”[7]

圖9π 平面上統一強度理論的極限線[6]

Fig.9The various limit loci of the unified strength

theories in the π plane到21世紀，國內外提出了一些非線性統一強度理論，它們可以分為以下3種：（1） 以松崗元中井照夫（MatsuokaNakai）準則、LadeDuncan準則為基礎的非線性統一準則[32]；（2） 以三剪為基礎的非線性統一準則；（3） 以雙剪理論為基礎的非線

性統一準則[13，3334].前2種非線性準則都可以退化到內邊界（單剪理論），卻到達不了外邊界（雙剪理論），因此實際上并不是統一準則.因為它們只能覆蓋部分區域，而不能像雙剪統一強度理論那樣覆蓋全部外凸區域.這2種非線性準則擴展到一定范圍（有的只能擴展到1/3～3/4范圍）就成為非凸的準則，從而違反了Drucker公設和相應的強度理論的外凸性.

沈珠江院士將剪切強度理論分為三大系列[35]：廣義單剪理論（SSS， single shear strength）、廣義雙剪理論（TSS， twin shear strength）和廣義三剪理論（又稱八面體剪切理論OSS， octahedral shear strength）.俞茂宏給出了三大系列強度理論極限線（圖10）.統一強度理論以單剪的MohrCoulomb強度理論為內邊界，雙剪強度準則為外邊界.巖石非線性統一強度理論以單剪的HoekBrown強度準則為內邊界，以巖石非線性雙剪強度準則為外邊界；巖石廣義非線性統一強度理論以單剪的廣義HoekBrown強度準則為內邊界，以巖石廣義非線性雙剪強度準則為外邊界.所以，MohrCoulomb強度理論、HoekBrown強度準則和廣義HoekBrown強度準則可視為廣義單剪強度準則.而雙剪強度準則、巖石非線性雙剪強度準則、巖石廣義非線性雙剪強度準則可視為廣義雙剪強度準則.

圖10三大系列強度理論極限線[7]

Fig.10Limit loci of SSS， TSS and OSS theoriesPan和Hudson、Priest等、Zhang和Zhu分別提出了三維HoekBrown強度準則[3640].Zhang等、Jiang和Xie分別提出了三維廣義HoekBrown強度

準則[4143].上述三維HoekBrown強度準則和三維廣義HoekBrown強度準則實際上是廣義三剪強度準則.在π平面上，它們位于作者提出的巖石非線性統一強度理論和巖石廣義非線性統一強度理論內外邊界所包圍的區域內，在0.5≤b≤1.0的范圍.

巖石非線性統一強度理論是巖石廣義非線性統一強度理論在β=0.5時的特例，作者曾對國內外26組巖石真三軸實驗數據657個實驗點進行過驗證[9]，90%的實驗點的相對誤差在10%以內.中間主應力系數b的值與巖性有關：砂巖為0.3～0.5；灰巖為0.5；大理巖、白云巖為0.5～1.0；花崗巖、火山巖為1.0.b的值還可以根據m值確定，具體方法請參考文獻[8].

巖石非線性統一強度理論假設，在三維應力空間，巖石強度理論極限面的子午線形狀與三軸等圍壓試驗曲線形狀相同，真三軸試驗結果證明了這個假設是正確的.而巖石廣義非線性統一強度理論是巖石非線性統一強度理論的擴展，已得到常規三軸試驗資料驗證.7結論本文對巖石廣義非線性統一強度理論進行了系統闡述，得到以下結論：

在應力空間，由廣義HoekBrown單剪強度準則和巖石廣義非線性雙剪強度準則構成巖石廣義非線性統一強度理論極限面的內邊界和外邊界，其間無數的極限面可以通過變化材料中間主應力效應參數b得到，構成巖石材料在主應力空間的全部極限面.三維廣義HoekBrown強度準則的極限面也包含在其中.

巖石廣義非線性統一強度理論包含了材料本身的強度參數、材料的脆性和材料剪切破壞時的剪脹特性，較好地表達了巖石材料強度的基本特性.

巖石廣義非線性統一強度理論可以將統一屈服準則、統一強度理論與巖石非線性統一強度理論聯系在一起.

巖石廣義非線性統一強度理論的參數與廣義HoekBrown強度準則的參數相同，在巖體工程中容易推廣應用.參考文獻：[1]張雪穎，阮懷寧，梁培新，等. 基于粒子群算法的多剪強度準則研究[J]. 武漢理工大學學報，2010，32（14）： 153158.

ZHANG Xueying， RUAN Huaining， LIANG Peixin， et al. Research on mutilshear strength criterion based on partical swarm optimization[J]. Journal of Wuhan University of Technology， 2010， 32（14）： 153158.

[2]ANDREEV G. Brittle failure of rock materials[M]. Rotterdam： A. A. Balkema， 1995： 1564.

[3]SHEOREY P R. Empirical rock failure criteria[M]. Rotterdam： A. A. Balkema， 1997： 1200.

[4]HOEK E， BROWN E T. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of Geotechnical Engineering Division， 1980， 106： 10131035.

[5]HOEK E， BROWN E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 1997， 34（8）： 11651186.

[6]俞茂宏. 雙剪理論及其應用[M]. 北京： 科學出版社，1998： 249282.

[7]俞茂宏. 強度理論新體系：理論、發展和應用[M]. 2版. 西安： 西安交通大學出版社，2011： 7595.

[8]昝月穩. 巖石非線性統一強度理論及其在巖體工程中應用[D]. 西安：西安交通大學建筑工程與力學學院，2001.

[9]昝月穩，俞茂宏，吉嶺充俊. 一種適合于巖石材料的雙剪模型[J]. 工程地質學報，2004，12（3）： 274279.

ZAN Yuewen， YU Maohong， YOSHIMINE M. A twinshear model for rock materials[J]. Journal of Engineering Geology， 2004， 12（3）： 274279.

[10]崔科宇，章敏，王星華. 嵌巖樁樁端極限承載力的研究[J]. 中國鐵道科學，2010，31（2）： 15.

CUI Keyu， ZHANG Min， WANG Xinghua. Research on the ultimate bearing capacity of rock socketed pile end[J]. China Railway Science， 2010， 31（2）： 15.

[11]HOEK E， CARRANZA T S， CORKUM B. HoekBrown failure criterion2002 edition[C] //Proceedings of the Fifth North American Rock Mechanics Symposium （NARMSTAC）. Toronto： University of Toronto Press， 2002： 267273.

[12]SINGH B， GOEL R K， MEHROTRA V K， et al. Effect of intermediate principal stress on strength of anisotropic rock mass[J]. Tunnelling and Underground Space Technology， 1998， 13（1）： 7179.

[13]昝月穩，俞茂宏，王思敬. 巖石非線性統一強度準則[J]. 巖石力學與工程學報，2002，21（10）： 14351441.

ZAN Yuewen， YU Maohong， WANG Sijing. Nonlinear unified strength criterion of rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2002， 21（10）： 14351441.

[14]YU Maohong， ZAN Yuewen， ZHAO Jian， et al. A unified strength criterion for rock material[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 2002， 39（8）： 975989.

[15]俞茂宏，昝月穩，李建春. 統一強度理論角點奇異性的統一處理[J]. 巖石力學與工程學報，2000，19（增刊）： 849852.

YUE Maohong， ZAN Yuewen， LI Jianchun. Unified manner to eliminate the corner singularity of unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2000， 19（Sup.）： 849852.

[16]昝月穩，俞茂宏. 巖石非線性統一彈塑性模型[J]. 礦山壓力與頂板管理，2005，22（3）： 4954.

ZAN Yuewen， YU Maohong. An elastoplastic model of the rock nonlinear unified strength theory[J]. Ground Pressure and Strata Control， 2005， 22（3）： 4954.

[17]KUMAR P. Shear failure envelope of HoekBrown criterion for rock mass[J]. Tunnelling and Underground Space Technology， 1998， 13（4）： 453458.

[18]YOSHIDA N， MORGENSTERN N R， CHAN D H. A failure criterion for stiff soils and rock exhibiting softening[J]. Candian Geotechical Journal， 1990， 27（2）： 195202.

[19]栗紅玉. 預應力錨索側阻力分布規律的研究及應用[D]. 長沙：中南大學資源與安全工程學院，2010.

[20]苗立. 基于統一強度理論在地下工程中力學性質研究[D]. 重慶：重慶交通大學土木建筑學院，2009.

[21]馬黎明，李夕兵，栗紅玉，等. 基于非線性統一強度理論的錨索極限抗拔力的計算[J]. 礦業研究與開發，2012，32（2）： 108112.

MA Liming， LI Xibing， LI Hongyu， et al. Calculation of ultimate pullout force of cable based on nonlinear unified strength criterion[J]. Mining Research and Development， 2012， 32（2）： 108112.

[22]張雪穎，阮懷寧. 新非線性強度準則在巖石材料中的應用[J]. 煤炭學報，2011，36（8）： 12641269.

ZHANG Xueying， RUAN Huaining. Application of new nonlinear strength criterion to rock materials[J]. Journal of China Coal Society， 2011， 36（8）： 12641269.

[23]周小平，錢七虎，楊海清. 深部巖體強度準則[J]. 巖石力學與工程學報，2008，27（1）： 117123.

ZHOU Xiaoping， QIAN Qihu， YANG Haiqing. Strength criteria of deep rock mass[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2008， 27（1）： 117123.

[24]周小平，張永興，王建華. 節理巖體圓形隧道滑動區的研究[J]. 巖土力學，2004，25（11）： 139143.

ZHOU Xiaoping， ZHANG Yongxing， WANG Jianhua. Study on slip zones around circular cavities on crackweakened rock masses based on nonlinear unified strength criterion[J]. Rock and Soil Mechanics， 2004， 25（11）： 139143.

[25]周小平，張永興. 節理巖體地基極限承載力研究[J]. 巖土力學，2004，25（8）： 12541258.

ZHOU Xiaoping， ZHANG Yongxing. Research on ultimate load bearing capacity of foundation of jointed rock masses[J]. Rock and Soil Mechanics， 2004， 25（8）： 12541258.

[26]周小平，張永興. 基于非線性統一強度理論的裂隙巖體圓形隧道擴張問題的彈塑性研究[J]. 應用力學學報，2006，23（3）： 373376.

ZHOU Xiaoping， ZHANG Yongxing. Analysis to slip zones around circular cavities in cracked rock masses following general nonlinear unified strength criterion[J].Chinese Journal of Applied Mechanics， 2006， 23（3）： 373376.

[27]張斌偉，嚴松宏，呂亮，等. 基于巖石非線性統一強度理論的地下洞室彈塑性分析[J]. 蘭州交通大學學報：自然科學版，2007，26（6）： 2528.

ZHANG Binwei， YAN Songhong， L Liang， et al. Elasticplastic analysis of circular tunnel based on the nonlinear unified strength theory of rock[J]. Journal of Lanzhou Jiaotong University： Natural Sciences， 2007， 26（6）： 2528.

[28]ZHANG Changguang， ZHANG Qinghe， ZHAO Junhai， et al. Unified analytical solutions for a circular opening based on nonlinear unified failure criterion[J]. Journal of Zhejiang University， Science A： Applied Physics Engineering， 2010， 11（2）： 7179.

[29]張斌偉，嚴松宏，李平. 考慮圍巖非線性和剪脹特性的地下硐室極限解[J]. 地下空間與工程學報，2012，8（3）： 473479.

ZHANG Binwei， YAN Songhong， LI Ping. Limit solution of underground chamber considering nonlinear softening and dilatancy of surrounding rock[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering， 2012， 8（3）： 473479.

[30]王紅. 多軸強度理論下的TBM滾刀間距[J/OL]. 中國科技論文在線. http：//www.paper.edu.cn.

[31]師林，朱大勇，沈銀斌. 基于非線性統一強度理論的節理巖體地基承載力研究[J]. 巖土力學，2012，33（增刊2）： 371376.

SHI Lin， ZHU Dayong， SHEN Yinbin. Study of foundation bearing capacity of joined rock masses based on nonlinear unified strength theory[J]. Rock and Soil Mechanics， 2012， 33（Sup.2）： 371376.

[32]MORTARA G. A new yield and failure criterion for geomaterial[J]. Geotechnique， 2008， 58（2）： 125132.

[33]俞茂宏. 線性和非線性統一強度理論[J]. 巖石力學與工程學報，2007，26（4）： 662669.

YU Maohong. Linear and nonlinear unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26（4）： 662669.

[34]昝月穩，俞茂宏，趙堅，等. 高應力狀態下巖石非線性統一強度理論[J]. 巖石力學與工程學報，2004，23（13）： 849852.

ZAN Yuewen， YU Maohong， ZHAO Jian， et al. Nonlinear unified strength theory of rock under high stress state[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2004， 23（13）： 21432148.

[35]沈珠江. 關于破壞準則和屈服函數的總結[J]. 巖土工程學報，1995，17（1）： 18.

SHEN Zhujiang. Summary of the failure criteria and yield function[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 1995， 17（1）： 18.

[36]PAN X D， HUDSON J A. A simplified threedimensional HoekBrown yield criterion[C]∥ROMANA M. Rock Mechanics and Power Plants. Rotterdam： A.A. Balkema， 1988： 95103.

[37]PRIEST S D. Determination of shear strength and three dimensional yield strength for the HoekBrown criterion[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2005， 38（4）： 299327.

[38]MELKOUMIAN N， PRIEST S D， HUNT S P. Further development of the three dimensional Hoek Brown yield criterion[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2009， 42（6）： 835847.

[39]ZHANG Lianyang， ZHU Hehua. Three dimensional Hoek Brown strength criterion for rocks[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2007， 133（9）： 11281135.

[40]EBERHARDT E. The HoekBrown failure criterion[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2012， 45（6）： 981988.

[41]ZHANG L. A generalized three dimensional Hoek Brown strength criterion[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2008， 41（6）： 893915.

[42]ZHANG Qi， ZHU Hehua， ZHANG Lianyang. Modification of a generalized three dimensional HoekBrown strength criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 2013， 59（4）： 8096.

[43]JIANG Hua， XIE Yongli. A new three dimensional HoekBrown strength criterion[J]. Acta Mechanica Sinica， 2012， 28（2）： 393406.

（中、英文編輯：付國彬）

（上接第589頁）

2注意事項

2.1來稿必須是原創作品，尚未正式發表過，文中不涉及保密內容.考慮到本刊稿件送審周期，作者自投稿之日起滿6個月后未收到通知，可另投他刊.在此之前，請勿一稿多投.否則，作者需對由此引起的法律糾紛負責，并賠償編輯部的經濟損失.

2.2本刊已與中國學術期刊（光盤版）雜志社（CNKI）、萬方數據股份有限公司（Wanfang Data）、科學技術部西南信息中心（維普）和華藝數位藝術股份有限公司（CEPS）等收錄機構簽訂了出版光盤和上網協議.本刊支付作者的稿酬中已包括由此產生的稿費.

2.3本刊編輯部對稿件有權做技術性和文字性修改.

2.4線圖應由計算機繪出.線條只能選用黑色，并盡量不用復雜的底紋.

2.5請登錄本刊網站進行在線投稿.

通信地址：成都市二環路北一段111號西南交通大學學報編輯部（自然科學版），610031

辦公地點：西南交通大學行政樓一樓

電話： 02887600550，87600551，87634790

傳真： 02887600552

Email： xbz@swjtu.edu.cn

網址： http：//journal.swjtu.edu.cn

（IP地址為http：//manu19.magtech.com.cn/Jweb_xnjd/CN/volumn/current.shtml）