幾種典型的時頻信號分析方法研究

摘 要：目前提出的時頻分析方法有很多，并在機械、電子、生物、醫學等很多領域得到了廣泛的應用。本文主要介紹幾種典型時頻分析方法并加以分析比較。

關鍵詞：時域分析；FPGA；傅里葉變換

從不同的角度去認識和分析信號，有助于了解信號的本質特征。時間和頻率是描述信號的兩個最重要的物理量，在時域中無法看到信號中隱藏的信息，可以采用傅里葉變換，變換到頻域進行觀察。時頻分析方法就是一種局域化分析工具，它的目標就是獲取信號在時間與頻率域的聯合信息。時頻分析方法有很多種，如短時傅里葉變換、小波變換、S變換、Cohen類時頻分布、Wigner-Ville分布、以及Hilbert-Huang變換等。

1 短時傅里葉變換

1.1 連續短時傅立葉變換

為了能著重分析某一時間段內的波形特征，人們提出了短時傅里葉變換的思想，在分析時域信號x（t）時，加隨時間變化的時間窗，即乘上一個限制時間段的函數w（t），然后再進行分析t，其具體變換式為：

注意到，窗函數w（t-τ）中的τ是可以變動的，即在時間軸上可以移動，這樣就可使得Sx（τ，ω）的各段依次進入被分析的狀態。

1.2 離散短時傅里葉變換

離散信號x（n）的短時傅里葉變換定義式：

其中，ω（n）是實數窗函數序列，也稱為分析窗。序列fn0（m）=x（m）ω（n0-m）稱為在時刻n0的短時段。

在式（2）中定義的短時傅里葉變換中，頻率變量是連續的，對頻率分量進行離散化，由此寫出數字信號的離散短時傅里葉變換：

短時傅里葉變換可以理解為一濾波運算的輸出，其中分析窗w（m）起到了濾波器沖激響應的作用，這時，窗函數w（n）被稱為分析濾波器。

對于固定的ω0，式（2）可以寫為：

由此看出，信號x（n）經過 調制后，通過一沖激響應為 的濾波器，便得到其短時傅里葉變換的結果。

2 小波變換

2.1 小波變換的定義

小波變換的思想是由法國工程師J.Morlet在1984年首先提出，他采用了能夠壓縮或伸展的Gaussian函數作為窗函數，由于窗函數具有局部性、振蕩性和波幅小等特點，Morlet將之稱為具有固定形狀的小波，從而誕生了具有里程碑意義的小波分析。

小波變換從基函數出發，吸取了傅里葉變換中的三角基與短時傅里葉變換中的時移窗函數的特點，形成振蕩、衰減的基函數，在非平穩信號處理的理論和技術研究中，小波分析的理論和技術廣泛受到人們的重視。

2.2 快速小波變換

快速小波變換（FWT）是一種實現離散小波變換（DWT）的高效算法，該變換使用了相鄰尺度DWT系數間一種巧妙的關系，也稱為Mallat人字形算法，由法國科學家Stephane Mallat于1988年提出，主要思路是先計算出第一級小波變換，然后在此基礎上計算下一級小波變換，如此重復下去。該算法的地位相當于FFT在經典傅里葉分析中的地位，成為各種硬件實現的直接理論依據。

3 S變換

S變換是短時傅里葉變換和小波變換的延伸和推廣，它采用與頻率（即尺度）有關的高斯窗函數，也即采用頻率作為自變量的高斯函數，其時頻分辨率隨著頻率的不同而變化，具有線性、多分辨率、逆變換唯一等特點，而且它獲得的二維時頻譜與傅里葉變換保持著直接的聯系，已經在盲信號分離、醫學圖像處理、地震波分析、故障檢測等很多領域得到了廣泛應用。

4 其他時頻分析方法

4.1 Wigner-Ville分布

與短時傅里葉變換不同，Wigner-Ville 分布沒有使用基函數與信號進行內積，因此也就沒有短時傅里葉變換那樣在時頻分析時受分辨率的限制，它使用信號的正負移位之積構成一種“雙線性形式”的變換，實際是一種二次型運算結構，也是一種非線性時頻分布，具有時頻分辨率高的特點，但Wigner-Ville 分布存在交叉項干擾，在多分量信號分析時，交叉項的存在混淆了對信號時頻特性的正確理解，也因此限制了它的應用。

4.2 Cohen類

克服Wigenr-Ville分布中交叉項干擾的影響，是時頻分析領域中一個非常活躍的研究方向，這方面的研究統一在一個框架下進行的，這就是Cohen類，由Cohen于1966年提出的，他總結給出了時頻分布的統一表示形式，能夠根據不同的核函數，構造出不同的時頻分布。

4.3 Hilbert-Huang變換

該方法認為：任何信號經過經驗模式分解成一些不同的本征模式函數IMF或者基本模式分量，然后再做Hilbert變換，將IMF轉換成解析信號，并求得這些分量的瞬時頻率和幅值。這種方法稱為Hilbert-Huang變換（HHT），能很好的反映信號的非平穩性特征，在國內外十分流行，已經在眾多的領域得到了廣泛的應用。