隨機分布貫穿裂隙巖體峰后應力-應變關系模型

仝興華，韓建新, ，李術才，李樹忱 ，汪雷,

(1. 山東大學 巖土與結構工程研究中心，山東 濟南，250061；2. 山東財經大學 數學與數量經濟學院，山東 濟南，250014；3. 工程兵學院，江蘇 徐州，221004)

由于地質構造運動等原因，工程巖體通常含有隨機分布的貫穿裂隙，在開挖等人工干擾作用下，這些裂隙巖體經常處于峰后狀態，具有一定的承載能力，但由于應變軟化的影響，當巖體變形發展到一定的程度之后，結構會突然失穩，導致結構的動態破壞失效，造成人力、物力上的損失，因此研究隨機分布的貫穿裂隙巖體峰后變形具有重要的理論和工程意義。在研究巖石材料的峰后變形方面，國內外學者從不同角度已做了很多工作。比較典型的有Fang等[1-2]利用峰后強度下降指數描述圍壓對巖石峰后殘余強度和割線模量的影響，建立了考慮圍壓影響的巖石峰后應變軟化力學模型。Armaldi等[3-4]利用統計損傷模型對峰后變形進行了研究。王學濱等[5]基于梯度塑性理論對巖石進行了峰后變形特征研究。王水林等[6]基于Mohr-Coulomb準則，采用數值試驗對巖土介質的峰后應力-應變曲線進行了研究。陸銀龍等[7]通過建立以廣義黏聚力c和廣義內摩擦角φ這2個狀態參數來表征的軟弱巖石后繼屈服面模型，對軟弱巖石的峰后力學特性進行了研究。李文婷等[8]基于Mohr-Coulomb強度準則，以內摩擦角作為中間變量，通過理論推導，將峰后彈性模量表征為應變的函數，建立了峰后巖體力學非線性應力–應變關系。Saeb等[9-12]則對節理的峰后應力-位移關系進行了研究。以上成果對于開展裂隙巖體的峰后應力-應變關系研究有著非常重要的借鑒作用。但這些成果要么是對巖石進行峰后變形研究，要么是對節理進行峰后變形研究，而對隨機分布的裂隙巖體進行峰后變形研究還很少見到，本文作者將基于強度參數的演化行為，采用Mohr-Coulomb強度準則，對隨機分布的貫穿裂隙巖體峰后應力-應變關系開展 研究。

1 巖石峰后應力-應變關系和裂隙的峰后應力-位移關系的求法

在巖石峰后變形階段，巖石的黏聚力和摩擦角一般隨著最大主應變的增加而發生變化，或者說由于黏聚力和摩擦角這2個強度參數的變化，才導致了峰后應變軟化，而在裂隙的峰后變形階段，裂隙的黏聚力和摩擦角則隨著裂隙剪切變形而發生變化，根據在巖石或裂隙的峰后變形階段強度參數逐漸演化這一事實，下面基于Mohr-Coulomb強度準則，分別以巖石的最大主應變ε1和裂隙的切向位移us作為軟化參數，求巖石峰后應力-應變關系和裂隙的峰后應力-位移關系。

1.1 巖石峰后應力-應變關系的求法

在巖石的峰后應變軟化階段，黏聚力c和摩擦角φ隨著最大主應變 ε1的增加而變化，所以Mohr-Coulomb強度準則可表示為：

其中：σ1為最大主應力；σ3為最小主應力。

在確定強度參數的演化規律方面，一般可通過實驗、數值模擬等方法來獲取強度參數與應變軟化參數之間的關系，即強度參數的演化規律。但為了使問題簡化，通常假設強度參數與應變軟化參數之間為分段線性函數的形式[13-14]，其表達式為

其中：η，ηp和 ηr分別為強度參數，峰值處的強度參數值和殘余階段的強度參數；γ*為應變軟化參數 γ在殘余階段開始處的值。對應的演化曲線如圖1所示。

圖1 強度參數的演化曲線Fig. 1 Evolutional curve of strength parameter

本文選擇Mohr-Coulomb準則作為強度準則，主應變ε1作為應變軟化參數，因此需要確定黏聚力c，摩擦角φ和 ε1之間的關系。由式(2)可得巖石材料強度參數c和φ的演化規律如下：

其中：εp，cp和φp分別為峰值處的主應變，黏聚力和摩擦角；εr，cr和φr分別為殘余強度開始處的主應變、黏聚力和摩擦角，可通過巖石實驗測得。將式(3)和(4)代入式(1)，即可求出巖石峰后應力-應變關系表達式。

1.2 裂隙峰后應力-切向位移關系的求法

圖2所示為1條貫穿裂隙巖體模型。如圖2所示，設試塊內含有一條傾角為β的裂隙。對于裂隙來說，在峰后軟化階段，其黏聚力cw，摩擦角φw隨著切向位移us的增加而變化，所以裂隙的 Mohr-Coulomb強度準則可表示為：

圖2 1條貫穿裂隙巖體模型Fig. 2 Model of rock mass with one penetrative crack

為了使問題簡化，假設裂隙黏聚力cw，摩擦角φw的演化規律為：

其中：εwp，cwp和φwp分別為峰值處的最大主應變、黏聚力和摩擦角；εwr，cwr和φwr分別為殘余階段開始處的最大主應變、黏聚力和摩擦角；usp和 usr分別為峰值處的切向位移和殘余階段開始處的切向位移，其值均可由實驗得到。將式(6)和(7)代入式(5)，即可求出裂隙峰后應力-切向位移表達式。

2 隨機分布貫穿裂隙巖體峰后應力-應變關系模型

圖3所示為隨機分布貫穿裂隙巖體模型。如圖3所示，設巖體的高為h，巖體中含有n條隨機分布的貫穿裂隙，裂隙的傾斜角為β，裂隙的摩擦角均為φw，黏聚力均為cw，巖石的黏聚力和摩擦角分別為c和φ，裂隙沿豎直方向的平均間距為，巖體所受軸壓為σ1，所受圍壓為σ3。為建立模型，提出如下3個假設：

(1) 在巖石的峰前變形階段，巖石為各向同性的線彈性體：設巖石的彈性模量為 E，泊松比為 ν，軸向應變為εi，則有

圖3 隨機分布貫穿裂隙巖體模型Fig. 3 Model of rock mass with random distribution of penetrative crack

(2) 在裂隙的峰前變形階段，裂隙的切向應力和切向位移滿足線性剛度關系，而法向應力和法向位移在峰前、峰后始終滿足線性剛度關系。設裂隙法向剛度為 kN，法向應力為 σN，法向位移為 uN，剪切剛度為ks，剪切應力為τs，剪切位移為us，則在裂隙的峰前變形階段有

在整個變形過程中有

(3) 各裂隙間的變形相互獨立。

2.1 裂隙峰前變形階段裂隙軸向總位移的求法

根據莫爾應力圓方法，可求得傾斜角為β的裂隙面上的法向應力和剪切應力分別為：

由模型假設可得法向位移和切向位移分別為：

所以該裂隙的軸向位移為：

由式(10)可得各裂隙的平均位移為：

其中：

假設裂隙傾角的密度函數為 f(β)，沿豎直方向的裂隙間距的密度函數為f(S)，其中S表示豎直方向的裂隙間距，則所有裂隙的總位移為：

其中：I1和I2分別為裂隙傾角β、裂隙間距S可能取值的集合；Sm為裂隙平均間距。式(19)即為所有裂隙軸向位移的計算公式，在裂隙材料參數和幾何參數已知的情況下，可由式(19)計算裂隙的位移。

2.2 隨機分布貫穿裂隙巖體峰后應力-應變關系的求法

在巖體峰后軟化階段，巖體處于卸荷破壞狀態，巖石要么沿著裂隙面滑移破壞，要么沿著巖石剪切破壞，下面分 2種情況研究裂隙巖體的峰后應力-應變關系的求法。

(1) 當巖體沿著裂隙滑移破壞時，巖體的軸向位移由滑動裂隙的軸向位移、未滑動裂隙的軸向位移和巖石的軸向位移組成。根據模型假設可得巖石的軸向位移

假設巖體沿著第k條裂隙破壞，設該裂隙切向位移為us，傾角為βk，則由該滑動面切向位移引起的軸向位移為

考慮滑移裂隙破壞前的切向位移遠遠小于破壞后的切向滑移位移，由式(19)可得由滑移裂隙的法向位移引起的軸向位移和其余裂隙的軸向位移之和u0為：

將式(20)，(21)和(22)相加，最后除以巖體的高度h即可求得巖體的峰后應力-應變關系式為：

由于巖體沿著第k組的某條裂隙破壞，所以由裂隙的 Mohr-Coulomb強度準則可得(23)式中 σ1應滿足式(5)。將式(5)，(6)和(7)代入式(23)，即可求得巖體的峰后應力-應變關系式。因表達式過于冗長，這里不再給出。特別的，當傾角β服從區間[a，b]均勻分布，s′服從參數為λ的指數分布時，式(23)可化為：

(2) 當巖體沿著巖石剪切破壞時，巖體的軸向位移由巖石的軸向位移和裂隙面的軸向位移組成，其中裂隙的軸向位移可由式(19)求得。設巖石的軸向應變為εi，則巖石的軸向位移為

將式(19)和(25)相加后除以試塊的高度 h可得試塊的應變為

因為巖體沿著巖石剪切破壞，所以由巖石的Mohr-Coulomb強度準則可得式(26)中的 σ1應滿足式(1)。將式(1)、(3)和(4)代入式(26)，即可求得在給定圍壓下巖體的峰后應力-應變關系式，因表達式過于冗長，這里也不再列出。特別的，當傾角 β服從區間[a，b]均勻分布，S服從參數為λ的指數分布時，式(26)可化為

總結以上過程可以得出求貫穿裂隙巖體的峰后應力-應變關系的基本方法:首先判斷巖體的破壞方式，可參照文獻[16]來判斷，若沿著裂隙滑移破壞，應根據式(23)來求裂隙巖體的峰后應力-應變關系，若沿著巖石剪切破壞，應根據式(26)來求裂隙巖體的峰后應力-應變關系。

3 算例

設試塊是內部包含貫穿裂隙的圓柱體(高為1 m)，假設貫穿裂隙傾角 β服從區間上的均勻分布，間距s服從參數為10的指數分布，即s～e(10)，所有裂隙的法向剛度均為 100 GN/m3,剪切剛度均為 20 GN/m3，裂隙峰值處黏聚力為2 MPa，摩擦角為38.0°，殘余階段的黏聚力為0.2 MPa，摩擦角為30.0°，巖石峰值處的摩擦角為40.0°，黏聚力為30 MPa彈性模量為30 GPa，泊松比為0.25，試塊所受圍壓為14 MPa，設裂隙峰值處的切向位移為0.001，殘余階段開始處的切向位移為0.02，下面求巖體的峰后應力-應變曲線。由文獻[16]可知：當裂隙的傾角越接近=64°時，裂隙的強度越低，因為裂隙傾角 β服從區間上的均勻分布，可近似認為該試塊中，強度最弱的結構面的傾斜角為 64°，根據所給的強度參數，由文獻[16]可知：試塊將沿著該裂隙面滑移破壞。將所給的參數代入式(5)，(6)，(7)和(24)可求得試塊的峰后應力-應變關系式，其全應力-應變曲線如圖(4)所示。為了研究裂隙的幾何參數和物理參數對巖體峰后應力-應變曲線的影響，不同參數下的巖體的峰后應力-應變曲線如圖5所示。從圖5可以看出：裂隙的平均間距、法向剛度越大，裂隙巖體峰后應變越小。這是由于裂隙間距越大，同樣高度內的裂隙數量越少；法向剛度和切向剛度越大，相同應力下引起的裂隙位移越小，從而使得巖體的總位移減小的結果。

圖4 裂隙巖體和巖石的全應力-應變曲線Fig. 4 Complete stress-strain curve of fractured rock mass and rock

圖5 裂隙參數對峰后應力-應變曲線的影響Fig. 5 Effects of crack’s parameters to post-peak stress-strain curve

4 結論

(1) 基于強度參數的演化行為，針對Mohr-Coulomb強度準則，分別以巖石的最大主應變ε1和裂隙的剪切位移us作為應變軟化參數，給出了巖石峰后應力-應變關系和裂隙的峰后應力-切向位移關系的具體求法。

(2) 在巖石峰后應力-應變關系和裂隙的峰后應力-位移關系求法的基礎上，通過建模，利用概率的方法給出了隨機分布貫穿裂隙巖體的峰后應力-應變關系式。

(3) 結合算例，討論了裂隙的平均間距、法向剛度和切向剛度對隨機分布貫穿裂隙巖體的峰后應力-應變曲線的影響。結果表明裂隙的平均間距、法向剛度和切向剛度越大，裂隙巖體峰后應變越小。

[1] Fang Z, Harrison J P. A mechanical degradation index for rock[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2001, 38(8): 1193-1199.

[2] 張春會, 趙全勝, 黃鸝, 等. 考慮圍壓影響的巖石峰后應變軟化力學模型[J]. 巖土力學, 2010, 31(增2): 193-197.ZHANG Chunhui, ZHAO Quansheng, HUANG Li, et al.Post-peak strain softening mechanical of rock considering confining pressure effect[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010,31(Supp.2): 193-197.

[3] Arinaldi A, Peralta P, Krajcinovic D. Prediction of scatter in fatigue properties using discrete damage mechanics[J].International Journal of Fatigue, 2006, 28(9): 1069-1080.

[4] 唐春安. 巖石破裂過程中的災變[M]. 北京: 煤炭工業出版社,1993: 40-48.TANG Chunan. Catastrophe in rock unstable failure[M]. Beijing:China Coal Industry Publishing House, 1993: 40-48.

[5] 王學濱. 基于梯度塑性理論的巖樣峰后變形特征研究[J]. 巖石力學與工程學報, 2004, 23(增1): 4292-4295.WANG Xuebin. Characteristics of post-peak deformations of rock in uniaxial compression based on gradient-dependent plasticity[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(Supp.1): 4292-4295.

[6] 王水林, 王威, 吳振君. 巖土材料峰值后區強度參數演化與應力–應變曲線關系研究[J]. 巖石力學與工程學報, 2010,29(8): 1524-1529.WANG Shuilin, WANG Wei, WU Zhenjun. Study of relationship between evolution of post-peak strength parameters and stress-strain curves of geomaterials[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(8): 1524-1529.

[7] 陸銀龍, 王連國, 楊峰. 軟弱巖石峰后應變軟化力學特性研究[J]. 巖石力學與工程學報, 2010, 29(3): 640-648.LU Yinlong, WANG Lianguo, YANG Feng. Post-peak strain softening mechanical properties of weak rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(3):640-648.

[8] 李文婷, 李樹忱, 馮現大, 等. 基于 Mohr-Coulomb準則的巖石峰后應變軟化力學行為研究[J]. 巖石力學與工程學報,2011, 30(7): 1461-1466.LI Wenting, LI Shuchen, FENG Xianda, et al. Study of post-peak strain softening mechanical properties of rock based on Mohr-Coulomb strength criterion[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(7): 1461-1466.

[9] Saeb S, Amadei B. Modeling rock joints under shear and normal loading[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1992, 29(3): 267-278.

[10] Grasselli G. Shear strength of rock joints based on quantified surface description[D]. Lausanne: Swiss Federal Institute of Technology. Laboratory of Mechanics, 2001: 89-92.

[11] Grasselli G, Egger B. Constitutive law for the shear strength of rock joints based on three-dimensional surface parameters[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2003, 40(1): 25-40.

[12] 唐志成, 夏才初, 黃繼輝, 等. 節理峰值后歸一化位移軟化模型[J]. 巖土力學, 2011, 32(7): 2013-2016.TANG Zhicheng, XIA Caichu, HUANG Jihui, et al. Post-peak normalized displacement softening model for discontinuous rock joint[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(7): 2013-2016

[13] Lee Y K, Pietruszczak S. A new numerical procedure for elasto-plastic analysis of a circular opening excavated in a strain-softening rock mass[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2008, 23: 588-599.

[14] Alonso E, Alejano L R, Varas F, et al. Ground response curves for rock masses exhibiting strain-softening behaviour[J]. Int J Numer Anal Meth Geomech, 2003, 27(13): 1153-1185.

[15] 韓建新, 李術才, 李樹忱, 等. 貫穿裂隙巖體強度和破壞方式的模型研[J]. 巖土力學, 2011, 32(增刊2): 178-184.HAN Jianxin, LI Shucai, LI Shuchen, et al. study of the strength and failure mode of the rock mass with persistent cracks[J].Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(Supp.2): 178-184.