雙曲線條件的取值范圍問題

初中數學學習中，經常遇到雙曲線條件的取值范圍問題. 解答它們，除了靈活應用反比例函數的知識外，還要注意靈活應用不等式的知識. 現舉例如下：

例1 如圖，A、B是雙曲線y=的一個分支上的兩點，且點B（a，b）在點A的左側，則b的取值范圍是 .

分析：由點B（a，b）在雙曲線y=上，那么b=. 要確定b的取值范圍，應先求k的值和確定a的取值范圍.

解：顯見，點A的坐標為（1，2）.

因為點A、點B都在雙曲線y=上，

所以2=，b=.

所以k=-2，b=.

因為點B（a，b）在點A的左側，

所以a<-1.

所以-1<<0，-2<<0.

所以b的取值范圍是-2

例2 如圖，已知M（2，1）、N（2，6）兩點，反比例函數y=與線段MN相交于點Q（2，m），則k的取值范圍是（ ）.

A. 1≤k≤6 B. 2≤k≤12 C. 4≤k≤24 D. k≤4或k≥24

分析：注意到點Q（2，m）在反比例函數y=的圖象上，那么k=2m. 要確定k的取值范圍，應先確定m的取值范圍.

解：由M（2，1）、N（2，6）兩點的橫坐標相同，得MN⊥x軸.

因為點Q（2，m）在線段MN上，

所以1≤m≤6.

因為點Q（2，m）在反比例函數y=的圖象上，

所以m=，k=2m.

所以2≤k≤12，應選B.

例3 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，與反比例函數y=的圖象交于C、D兩點，DE⊥x軸于點E. 已知C點的坐標是（6，-1），DE=3.

（1）求反比例函數與一次函數的解析式.

（2）若一次函數的值大于反比例函數的值， 請確定x的取值范圍.

分析：（1）根據點C的坐標，可求出反比例函數的解析式；注意到點C、點D都在一次函數y=kx+b的圖象上，要求一次函數的解析式，應先確定點D的坐標.（2）要確定使一次函數的值大于反比例函數值的x的取值范圍，只需看看x取什么值時，一次函數y=kx+b對應的圖象高于反比例函數y=對應的圖象.

解：（1）依題意，在y=中，x=6時，y=-1.

所以m=-6.

所以反比例函數的解析式為y=-.

因為DE⊥x軸于點E，DE=3，

所以點D的縱坐標為3.

因為點D在反比例函數y=-的圖象上，

所以點D的橫坐標為-2，點D的坐標為（-2，3）.

因為點C（6，-1）、點D（-2，3）都在一次函數y=kx+b的圖象上，

所以6k+b=-1，-2k+b=3.

所以k=-，b=2.

所以一次函數的解析式為y=-x+2.

（2）注意到點D的橫坐標為-2，點C的橫坐標為6，

所以x的取值范圍為x<-2，或0

例4 如圖，已知點A（2，6）、B（3，4）在雙曲線y=上.

（1）求此雙曲線對應的函數解析式；

（2）若直線y=mx與線段AB相交，求m的取值范圍.

分析：（1）確定反比例函數的解析式，只需確定反比例函數上一個點的坐標即可.（2）設直線y=mx與線段AB的交點為P（x，y），

則m=. 為此，只需確定的取值范圍.

解：（1）由點A（2，6）是反比例函數y=圖象上的一點，得6=.

所以k=12.

所以此雙曲線對應的函數解析式為y=.

（2）設直線y=mx與線段AB的交點為P（x，y），則m=.

因為點P（x，y）在線段AB上，

所以2≤x≤3，4≤y≤6.

所以≤≤.

所以m的取值范圍為≤m≤3.