基于共軛梯度法的降低多載波信號峰均比的研究

徐 壯，竺小松，李陳磊

(合肥電子工程學院，合肥 230031)

0 引言

多載波信號傳輸技術由于其頻譜利用率高、抗干擾能力強的特點，在通信系統中有著廣泛的應用，例如用于多載波雷達系統、JTIDS 干擾系統以及各種頻率分集系統等［1-2］。由于多載波信號是由多個正弦子載波組成，隨著子載波數的增加，其波形的幅值呈高斯分布，會形成高于平均幅度的時域尖峰，也就是峰值功率。一般情況下，載波數目N 越大，峰值功率也越大。為了不失真地傳輸這些高峰值功率的多載波信號，發送端對高功率放大器的線性度要求很高，同時接收端對前端放大器以及A/D 變換器的線性度要求也很高且輸出效率很低。

峰值功率很大程度上取決于正弦子載波的初始相位，多載波信號以相同相位相加時會產生高于平均幅度的時域尖峰，不同相位相加時會使信號的平均幅度下降。因此，通過采取尋找最佳的正弦子載波初始相位的辦法，可以有效地降低信號的峰值功率。已有許多文獻［3-5］對尋找最佳的初始相位序列進行了研究。1954年，Shapiro和Rudin 提出了一種相位序列［3］，當子載波數為2的冪次時，PAPR 降至3 dB左右。1965年，Newman 提出了一種相位序列［4］，當子載波數為3時，其性能最差，PAPR 達到3.68dB，但隨著子載波數的增加，其PAPR 逐漸收斂于2.6 dB。1994年，S.Narahashi 提出了一種相位序列［5］，其性能與Newman相位序列接近，只是當子載波數小于6時，其性能稍優于Newman 相位序列。由于Newman 相位序列和Narahashi 相位序列都是在N 趨向無窮大時通過逼近理論推導出來的，在N的取值不是很大的情況下，其結果并不理想。本文采用共軛梯度法對Newman 相位序列進行了優化，并對其結果與Newman 法和Narahashi 法所得的結果進行了比較。

1 兩種著名的初相優化方案

N個多載波信號相加可表示為

為了方便討論和分析，假設Ak在整個時間域中相等，則s(t）的瞬時功率為

根據PAPR的原始定義得

其中

Newman 相位

Narashina 相位

表1分別給出了當N 不同時采用Newman 法和Narahashi 法所求得得PAPR 值［6］。

2 共軛梯度算法原理

共軛梯度法是利用目標函數梯度逐步產生共軛方向作為線搜索方向的方法［7］，每次搜索方向都是在目標函數梯度的共軛方向上，搜索步長通過一維極值算法確定。

表1 不同方法的PRPR 結果比較

共軛梯度法搜索的第一步是沿負梯度方向。從任意點X(k）出發，按S(k）=－▽f (X(k））方向找到X(k+1），設按S(k+1）=－▽f (X(k+1））+βkS(k）來產生搜索方向。

在上式中βk的選擇上，應使n 維歐氏空間En中的兩個非零向量S(k）與S(k+1）關于矩陣A 共軛。即

以AS(k）乘以兩邊，于是有

由(7）、(8）兩式可得

由于計算不方便，通過簡化可得

綜上所述，N 維目標函數共軛梯度搜索可表示為

3 基于共軛梯度法降低多載波信號的峰均比

求解峰均值過程可以等價為尋找使得P0(t）最小的{θk}的過程，但是實現的過程是非常困難的。為了便于用共軛梯度法進行搜索，進行了下列數學分析推導［8］。根據施瓦茲不等式有下列不等式成立:

由方差公式 D [ X ]=E [ X2]－E2［X］，則EP0(t）的方差δ2為

由(14）、(15）兩式得

可見，如果δ2能夠取得最小，就可以推出P0(t）此時也是最小，而δ2最小是一個多參數(含θ1θ2…θN）的目標函數，即轉化為用共軛梯度法求無約束多維極值問題minδ2，θk∈Rn。

具體的算法步驟如下:

(2）若‖▽δ2(θ1）‖≤ε，停止，極小值點為θ1，否則轉步驟(3）;

(3）取p1=－▽δ2(θ1）;

(5）若‖▽δ2(θk+1）‖≤ε，停止，極小值點為θk+1，否則轉步驟(6）;

(6）若k+1=n，令θ0=θn，轉步驟(3），否則轉步驟(7）;

4 仿真分析

在matlab的開發環境下，分別仿真計算了子載波數N=2～36時信號s(t）的幅值和PAPR(dB），設共軛梯度法的搜索精度ε=10－6、s(t）的幅值A=1。在同等情況下，與Newman方法和Narahashi方法進行了性能比較。

圖1為載波數2≤N≤36時3 種算法降低PAPR的比較圖。如圖1所示，在N ≤10的情況下，共軛梯度法求的PAPR 要明顯低于Newman 法和Narahashi 法所得的PAPR 值。

圖1 3 種算法PAPR 比較

圖2為載波數N=16時3 種算法的振幅瞬時包絡圖。從圖中可看出，文中的算法能更有效地改善多載波的包絡特性。

圖2 N=16時多載波信號的包絡圖

5 結束語

本文分析了抑制多載波高峰均值的相位組合理論，推導簡化了初始相位來降低峰均值的公式，將峰均比的抑制問題轉化為N 維變量的尋優問題。結合共軛梯度法收斂速度快、穩定性高的優點，將其成功地運用到峰均比抑制的問題上。實驗仿真表明，在不過分增加復雜度的情況下，新方法要優于Newman 法和Narahashi 法。從圖1 可看出，隨著N的增加，其峰均值要比Newman 法低0.2～0.3 dB。從圖2 可看出，文中的算法能更有效地改善多載波的包絡特性，使其包絡更具有平穩性。

［1］D R Gimlin，C R Patisul.On minimizing the Peakto-average power ratio for the sum of N sinusoides［J］.IEEE Transactions on Communications，1993，41(4）:631-635.

［2］P Chaudury，W Mohr ，S Onoe.The 3GPP proposal for IMT-2000［J］.IEEE Communication Magazine，1999，37(12）:72-81.

［3］Boyd Stephen.Multicarrier signals with low crest factor ［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1986，33(10）:1018-1022.

［4］D J Newman.An L1 external problem for polynomials［J］.Proc.Amer.Math.Soc.1965，16(5）:1287-1290.

［5］S Narahashi，T Nojima.New phasing scheme of N-multiple carriers forreducing peak-to-average power ratio ［J］.Electronics Letters，1994，30(17）:1382-1383.

［6］江濤.OFDM 無線通信系統中峰均功率比的研究［D］.武漢:華中科技大學，2004.

［7］郭科，陳聆，魏有華.最優化方法及其應用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［8］S Narahashi，K Kumagai，T Nojima.Minimising peak-to-average powerratio of multitone signals using steepest descent method［J］.IEEE Electronics Letters，1995，31(18）:1552-1554.