一種投影預處理算法在局部CT圖像重建中的應用

張衛貞

（太原科技大學電子信息工程學院,山西太原 030024）

0 引言

工業CT作為一種先進的無損檢測手段，自70年代末期以來得到越來越廣泛的應用，使得觀察復雜構件的內部結構和缺陷成為可能。但由于被檢工件通常較大，而且有噪聲的存在（通常為高斯白噪聲），使得人們越來越傾向于通過研究被檢工件的局部投影數據來實現工件感興趣區域的局部重建。為此，本文在局部CT圖像重建前,采用一種基于小波變換的Wiener 濾波投影預處理算法,采取這種方法可以在保證獲得較理想投影數據的前提下對工件感興趣區域實現實時重建和檢查，而且其檢測過程也符合實際應用的需要。

1 小波分析

1.1 小波局部性分析

由于利用FBP算法（濾波反投影算法）重建CT圖像時需要用到全部的投影數據。本文利用小波分析具有可局部分析的優點，利用ROI（感興趣區域）的投影數據可以對一個大工件進行局部性分析。小波的局部性質[1]分析：

定理1.1 設函數f(t)在區間[-A ,A]外的值為零，且滿足∫tnf(t) = 0 ,n=0,1,...N，那么對于|s|＞A，有下式成立 ：

通過定理可以看出，若函數f(t)具有高階的消失矩，那么該函數經過希爾伯特變換將會在有限的區間內迅速衰減到零。若一個函數f(t)是一個緊支撐且具有高階消失矩的函數，那么經過希爾伯特變換，變換之后的支撐區間將會在有限區域內迅速衰減到零。

1.2 小波選取

在不同應用領域，小波基的選取準則也不盡相同。工程應用中，小波基函數的選取在小波分析中占有重要地位。小波基的選取需根據具體問題中所要反映的具體特征，使得通過小波變換能更方便地刻畫待處理信號的不同特征。美國學者Daubechies構造的正交小波“Coiflets”，該小波簡記為CoifN，N=1,2,…,5。在db小波中Daubechies小波僅考慮了使小波函數ψ(t)具有消失矩N 階，而沒考慮尺度函數。R.Coifman于1989年Daubechies提出建議希望能構造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies接受這一建議，并構造出了這一類以Coifman的名字命名的小波。CoifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為6N-1，也是接近對稱的。的消失矩是2N，ψ(t) 的消失矩是2N-1，我們在實際的局部重建算法中，將選用Coif3小波。該小波的尺度函數和小波函數ψ(t)分別具有5階和6階的消失矩，而其支撐長度均為17。

1.3 小波多分辨率分析

Mallat給出了多分辯率分析的定義：

給定不同的分辨率水平j的信號，通過在尺度和小波兩個正交的子空間上分解,得到的圖像分別反映圖像的低頻概貌信息、高頻細節信息，最后利用小波逆變換可得到對應的多分辨率重建圖像。

2 Wiener濾波降噪原理

圖像去噪是數字圖像處理中的重要環節和步驟。降噪效果的好壞直接影響到后續的圖像處理工作。圖像信號在產生、傳輸過程中都可能會受到噪聲的污染。重建過程中，工件投影數據存在一定的噪聲，通常為高斯白噪聲，Wiener維納濾波使原始圖像和其恢復圖像之間的均方誤差最小的復原方法，是一種自適應濾波器，根據局部方差來調整濾波器效果。對于去除高斯噪聲效果明顯。為此，我們選擇Matlab圖像處理工具箱中Wiener2濾波函數，該函數利用圖像的局部方差來調整濾波器的輸出，可以實現對圖像噪聲的自適應濾除。

Wiener2函數采用的算法是首先對每一個像素估計出在以該像素為中心的窗η內估計局部矩陣和方差，M和N為濾波窗的長和寬。

式中f(n1,n2)是像素點 (n1,n2)的灰度值(含噪時)；u是像素點 (n1,n2)的局部灰度均值，局部的大小就是點 (n1,n2)鄰域的大小；σ2是像素點(n1,n2)的局部方差；v2是圖像中噪聲的方差；是像素點 (n1,n2)去噪后的灰度估計值[2]。

3 算法描述與實現

1.利用0～179°每隔1個角度的Shepp-Logan頭顱投影數據（367*90）低分辨率重建，得到的低分辨率圖像如圖3.2（a）所示,通過圖像觀察可發現頭顱局部區域有兩個大小不同的亮點存在,選出有亮點存在區域的像素點。

2.對存在亮點區域像素點 (n1,n2)的含噪投影數據進行小波3級分解，并對高頻部分進行Wiener2濾波去噪，最后對亮點存在區域投影數據小波逆變換，得到小波局部重建圖像x?，算法框圖如圖3.1：

圖3.1 基于小波變換的wiener濾波降噪框圖

從圖3.1可看出，該方法采用小波變換與Wiener濾波相結合的方法，將這兩種方法的多分辨率、稀疏性、去相關性、選基靈活性等的優點結合在一起用于圖像處理。

另外，該算法僅對亮點局部投影小波分解后的高頻部分進行維納濾波降噪處理。由于白噪聲頻譜很寬,在對亮點局部含噪投影數據采用低通濾波器濾波時,必然會使圖像的高頻信息受到一定損失，因此該算法可以有效的保留圖像的細節信息。

實驗結果如下：

圖3.2 Shepp Logan頭顱實驗結果

4 結論與分析

為了對亮點局部重建圖像進行分析，本文利用規范化圖像平方根誤差e，即對一個N×N的圖像:

其中，f為對應原始圖像的像素點值，為重建圖像第i行和第j列的像素點值，為原始圖像平均像素點值。對亮點局部重建圖像區域，利用式(4.1)所定義的規范化圖像平方根誤差e，計算所得的e值為0.0498。

從圖3.2所示的局部重建圖像和亮點局部重建區域平方根誤差分析可以得出，對于只對大工件局部感興趣的含噪投影，我們可以根據低分辨率圖像所能分辨出的感興趣區域，只對感興趣區域的投影進行降噪處理及重建，通過仿真分析可知，該方法不僅省去了處理全部投影數據的時間，而且對于局部感興趣區域的重建結果，相對原圖像誤差較小。

[1]劉冰.SPECT局部重建算法研究[D].北京理工大學碩士論文.2008.6.

[2]Crouse M S,Baraniuk R G,Nowak R D.Hidden Markov models for wavelet-based signal processing[A].Pric 30th Asilomar Conf[C].Pacific Grove,CA,1996，1029-1035.