單調壓縮部分變換半群的秩

高榮海

（貴州師范大學 a.學報編輯部；b.數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001）

在半群代數理論中，對于半群的秩或者冪等元秩是半群研究的一個熱點內容之一，關于變換半群秩的研究已有許多成果[1-9].設S是一個有限半群，則S的秩定義為：rank(S)=min{|A|:A?S,A=S}.如果S是由冪等元集E生成，那么S的冪等元秩定義為：rank(S)=min{|A|:A?E,A=S}.1987年，文獻[4]考慮了Xn上的奇異變換半群的秩，得到了它的秩為n（n-1）/2；1992年文獻[5]證明了Xn上的保序奇異變換半群On和POn的秩分別為n和2n-1；2010年文獻[6]引入保序壓縮奇異變換半群，得到了它的秩為n-1，2011年文獻[7]將文獻[6]的結果進行推廣，得到其理想的秩.在本文中，我們將單調性與壓縮性引入到部分變換半群中，考慮了一類新的半群-單調壓縮部分變換半群.設Xn={1,2,...,n}(n>4)并賦予自然序，Pn是Xn上的部分變換半群.設α∈ Pn，若對任意x，y∈domα?Xn，x≤y? xα≤yα，則稱α是單調遞增的；若對任意x，y∈domα?Xn，x≤y?xα≥yα，則稱α是單調遞減的. 設α∈Pn，若對任意x，y∈domα?Xn，有|xα-yα|≤|x-y|，則稱α是Pn的壓縮元. 記MCPn為Pn中所有單調（遞增或遞減）壓縮元構成的集合，易見MCPn在映射的合成下構成Pn的一個子半群.我們稱之為Xn上的單調壓縮部分變換半群.在這篇文章中我們得到了MCPn的秩為2n-1.

1 準備

設A，B是Xn的兩個非空子集，若maxA

當α單調遞增時，由單調性和壓縮性容易驗證α有如下表示法（稱為α的標準表示）：

這里，a1

當α單調遞減時，由單調性和壓縮性容易驗證α有如下表示法（稱為α的標準表示）：

這里，a1>a2>…>ar，Ai

為 了 敘 述上的方便，對任意 α,β ∈MCP，定義 (α,β)∈ LΔ? im(α)=im(β),(α,β)∈ RΔ? ker(α)=ker(β),

n(α,β)∈ JΔ? |im(α)|=|im(β)|,則 LΔ,RΔ,JΔ都是 MCPn上的等價關系，易見 LΔ?JΔ，RΔ?JΔ. 對 0≤r≤ n-1，記JΔr={α∈MCPn:|im(α)|=r},則恰好是 MCPn的 n個 JΔ-類，其中是有空變換構成，并且

設

則頂端 JΔ-類有 2n-1 個 RΔ-類 RΔ(1,2),RΔ(2,3),...,RΔ(n-1,n),RΔ(1),...,RΔ(n)以 及 n 個 LΔ-類LΔ(1),...,LΔ(n).

2 主要結果及證明

本文的主要結果：

定理設自然數n≥4，則rankMCPn=2n-1.

在證明該定理之前，先給出下面幾個相關的引理和推論.

引理1對任意α，β∈MCPn，若（α，β），（α，αβ）∈ JΔ，則（α，αβ）∈ RΔ，（αβ，β）∈ LΔ.

證明該定理的證明較容易，可參見文獻[6-7]引理1的證明.

由引理1知MCPn的任意一個生成集都必須覆蓋中每 RΔ-類和每個 LΔ-類，而 JnΔ-1中共有2n-1個RΔ-類和n個LΔ-類.于是我們可得到下面的推論1.

推論1設自然數n≥4，則rankMCPn≥2n-1.

引理2對 0≤r≤n-2,有

證明在這里分0≤r≤1和2≤r≤n-2來加以討論.由于對前一種情形相對容易驗證，所以在這里僅討論后一種一般的情形.

情形1|bi+1-bi|=1（i=1，2，…，r-1），且|Ai|=1（i=1，2，…，r），不妨設Ai={ai}，下面分兩種子情形討論：

情形1.1若ai+1=ai+1（i=1，2，…，r-1），由于 r≤n-2可知，要么 a1≠1要么 ar≠n，不妨設a1≠1.

當α單調遞增時：

1）若b1≠1，令則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=1，令

則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

當α單調遞減時：

1）若b1≠n，則β與單調遞增1）中的相同，在γ中，只需將b1-1改為b1+1；

2）若b1=n，則β與單調遞增2）中的相同，在γ中，只需將br+1改為br-1，則有β，γ∈ JΔr+1且α=βγ.

情形1.2若有某個i（2≤i≤r），使得ai-ai-1>1

當α單調遞減時：

1）若b1≠n，令則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=n則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

若α單調遞增時：

1）若b1≠1，則β與單調遞減時的1）中的β相同，γ只需將單調遞減時1）的b1+1改為b1-1即可；

2）若b1=1，則β與單調遞減時的2）中的β相同，γ只需將單調遞減時2）的br-1改為br+1即可.

情形2|bi-bi-1|=1（i=2，…r），且有某個 k（1≤k≤r），使得Ak>1，設x=minAk.

當α單調遞減時：

1）若 b1≠n，令

2）若b1=n，令

則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

當α遞增時，可仿照情形1.2的方式進行討論即可.

情形3若存在某個j（2≤j≤r），使得|bj-bj-1|>1（j=2，…r），由于r|bj-bj-1|>1，進 而 有 minAj>maxAj-1+1. 令為集合{b1，…，bj-1，bj，…，br，s}上的恒等變換，則有β，γ∈且α=βγ.

由引理2可得下面的推論2.

推論2設n≥4，則是MCPn的生成集，即MCPn=<>.

注1設ei（i=1，2，…，n）是Xn{i}上的恒等變換，則根據MCPn中元素的標準表示知LΔ(i)={ei}(i≠1,n).

設集合S為

引理3設自然數n≥4，則JnΔ-1?.

證明由S中元素的特點知，S中的元素恰好覆蓋了中的所有RΔ-類和LΔ-類.下面需證明JnΔ-1中的元素均可由S中的元素生成，即只需證明JnΔ-1S?.

對任意α∈JnΔ-1S，下面分4種情形討論：

情形1α單調遞增且α∈LΔ(1).此時，直接計算可知，為了后面討論的方便，記該α為

情形2α單調遞增且α∈ LΔ(n). 此時，一定有某個k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）當α∈ RΔ(k,k+1)，通過計算可得 （注：此處當k=1時，α↑k,1指的是情形1下生成的單調遞增元素α，下同）

2）當α ∈ RΔ(k)且 k=1或者n時，通過計算可得；若k≠1,n時，計算可得

情形3α單調遞減且α∈ LΔ(1). 此時，一定有某個k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）當α∈ RΔ(k,k+1)，通過計算可得

2）當α ∈ RΔ(k)且k=1或者n時，通過計算可得；若k≠1,n時 ，計算可得

情形4α單調遞減且α∈LΔ(n)，與情形2，3討論相似，若α∈RΔ(k,k+1)有；若α∈RΔ(k)且k=1或者n時，有

定理的證明由引理3與推論2，得MCPn=，其中S如前定義.注意到，|S|=2n-1，所以rank（MCPn）≤2n-1. 結合推論1，即證得rank（MCPn）=2n-1.

[1]Garba G U.On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Portugal Math,1994,51.

[2]Barnes G,Levi I.On idempotent ranks of semigroups of partial transformations[J].Semigroup Forum,2005,70:81-96.

[3]Umar A.On the ranks of certain finite semigroups of order-decreasing transformations[J].Portugal Math,1996,53:23-34.

[4]Gomes G M S,Howie J M.On the rank of certain finite semigroups of transformations[J].Math Proc Camb Phil Soc,1987,102.

[5]Gomes G M S,Howie J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum,1992,45:272-282.

[6]徐波，馮榮權，高榮海.一類變換半群的秩[J].數學的實踐與認識，2010，40（8）：222-224.

[7]高榮海，徐波.關于保序壓縮奇異變換半群的秩[J].山東大學學報：理學版，2011，46（6）：4-7.

[8]高榮海，徐波.降序嚴格部分變換半群的冪等元秩[J].河南師范大學學報：自然科學版，2010，38（6）：4-7.

[9]高榮海，徐波.降序有限部分變換半群的冪等元秩[J].西南大學學報：自然科學版，2008，30（8）：9-12.