基于變換函數的船體曲面參數化修改技術研究＊

胡春平 黃金鋒 馮佰威

（武漢理工大學交通學院1） 武漢 430063） （中國艦船研究設計中心2） 武漢 430063）

0 引 言

船體曲面表達是船體設計的一個重點，當進行船體型線優化時，必須要有參數化表達的船體曲面，來自動提供新的船型.目前，對船型參數化自動生成方法主要分為以下兩類：一類是基于母型的方法，如融合方法［1－2］，它是基于多個不同母型進行內插值來生成新的船型，通過調整融合參數來實現不同的船型生成，這種方法能在母型光順的條件下，保證生成的新船型也光順，很適用于局部變換，但缺點是為了產生盡量復雜的船型，對母型船數量有一定需求；另一類是直接修改控制頂點坐標的方法［3－4］，該方法通過直接操控NURBS控制頂點坐標來改變船體曲面從而產生新的船型，其優點是容易產生各種復雜的船型，但缺點是不能保證變換后船型曲面的光順性，將該方法應用于船型優化中，由于優化變量非常多，常導致優化無法進行.以上兩種方法總體來說是通過對母型的非均勻有理B 樣條（non－uniform rational bspline，NURBS）控制頂點的操作來實現新船型的生成；為實現基于計算流體力學（computational fluid hydrodynamics，CFD）的船型自動優化，德國的Stefan Harries等提出了一種全新的船型參數化方法，通過各特征曲線（平底線、平邊線等）和相應的剖面曲線函數定義來生成參數化船體曲面，并開發了船型參數化建模的軟件Friendship－Framework，但該軟件在剖面曲線的定義方面比較難掌握，靈活性太大，對各曲線參數的配合需要建模者自己去協調，這對建模者來說是比較困難的［5］.于雁云在其博士論文中提出了采用變換函數修改船型的方法［6］，其原理是通過構造變換函數，并將該變換函數疊加在母型的船體曲面上，進而求得控制頂點新坐標.該方法可以在很少的參數情況下，進行船型的參數化自動生成，既可避免融合方法中需要建多個母型船而產生手工操作量大的問題，又可克服采用直接修改控制頂點方法導致優化變量多及船體光順性差的弊端，并且容易實現.本文在此基礎之上，分別對局部變換函數和整體變換函數進行了相應的改進，使局部變換函數更合理，整體變換后獲得的船體曲面可以更豐富.

1 船體曲面的參數化表達

本文采用NURBS曲面來表達船體曲面，對任一NURBS曲面，可表達為［7］

式中：u，v 2個參數是節點向量；m，n 為u，v向控制頂點的個數；dij（0≤i≤j.0≤j≤m）為NURBS控制頂點；wi（i＝0，1，…n）為權重因子，分別與控制頂點dij（i＝0，1，…n）相聯系；Ni，k（u）為B樣條基函數，它的第1個下標i表示B樣條的序號，第2個下標k表示B樣條的冪次（等于階數－1）.其由以下遞推公式定義

可知，當固定u，v向的節點矢量時，船體曲面各點的型值由控制頂點的位置決定，因此，通過修改控制頂點的位置可以實現對曲面形狀的修改，生成新的船型.

2 變換函數的構造

對一般船型，設初始的母型船體曲面方程表示為

式中：x，y，z為船體曲面上的點.本文的參數化船型變換以母型船體曲面為基礎，通過構造坐標變換函數，對母型船體曲面上點的3個方向的坐標進行函數變換來實現新船型的生成.設構造變換后的船型曲面方程如下.

式中：φ（x，y），ψ（x，y），λ（x，y）分 別為X，Y，Z 軸方向上的坐標變換函數.則可知，當φ（x，y）＝ψ（x，y）＝λ（x，y）＝0時，變換后得到的船型就是母型船的船型；當這3個函數有任何1個不為零時，就可以產生和母型不同的船型.雖然通過變換函數可以產生和母型不同的新船型，但這并不能保證船型的光順性.因此，需要對變換函數及其參數取值做相應的限定.

具體實行船體曲面變換時，由于文中的曲面是NURBS參數化的曲面，因此只需修改控制頂點，然后由NURBS原理可自動反映到船體曲面的型值點上去，從而實現了船體曲面的變換.這里對船型的變換分為兩類考慮：對船型的局部線型進行變換；對全船的線型進行變換.

對船型曲面進行局部變換，可以選擇下面的變換函數

dx，dy，dz，a，b，Lx，Lz，為可變參數，x，z 為控制曲面控制頂點，利用該函數對船型曲面進行修改的局部變換區域為XOZ 平面上以點（a，b）為中心、Lx 和Lz 為長、短軸的橢圓形區域.進行船型變換時，只對橢圓區域內的控制頂點進行坐標變換.根據式（5）可知，參數t的值域為［0，1］；又函數f（t）＝－6t5＋15t4－10t3＋1在0≤t≤1上為單調遞減函數，取值也為［0，1］，且在t＝0時，坐標值變化最大，但變化率為0；在t＝1處，坐標值變化最小（不變化），變化率也為0，且在變量域內，其取值成漸進變化的，該函數特性見圖1.

對船體曲面進行整體變換，選擇下面的坐標變換函數

式中：dxf，dxa分別為X 軸方向舯前段和舯后段變換的參數；dy，dz 分別為沿船寬方向和型深方向的變化參數；ep 亦為型深方向變化參數；Lmax，Bmax，D 分別為最大船長、最大船寬和型深.

圖1 函數特性圖

3 船型曲面的光順條件

文獻［6］在數學上給出了曲面光順性準則，即任何曲面函數只要滿足下面3個條件就能夠保證曲面光順.

1）坐標變換函數需要滿足C2（2 階導數）連續性方程

式中：B（x，y）＝0 為一封閉曲線，曲線內部區域為φ（x，y），ψ（x，y），λ（x，y）的作用域，即在B（x，y）＝0區域外，φ（x，y）＝ψ（x，y）＝λ（x，y）＝0，也就不受影響.

2）坐標變換函數不會使變換后的船體曲面產生多余的拐點.

3）坐標變換函數在作用域內曲率變化是均勻的.

要保證經船型變換函數進行船型變換后的新船體曲面仍然是光順曲面，即要證明z＝g（x，y）＝f（x＋φ（x，y），y＋ψ（x，y））＋λ（x，y）是光順的船型曲面，則應證明變換后的船型滿足上文中提到的曲面光順的3個條件.研究表明，只要選擇合適、滿足連續光順條件的坐標函數，并且設定合適的變換范圍則可以保證船體曲面的光順性，由光順條件易知本文中選擇的變換函數（公式5、6）滿足這幾個條件，即可以保證變換后船型曲面的光順性，詳細的光順性證明參考文獻［6］.

4 船型變換示例及其CFD 計算

4.1 局部變換實例

利用已給出的局部變換函數式（4），對1300 TEU 集裝箱船球鼻首部位進行局部變換，變換前后的線型對比如圖2～4所示.其中圖2為變換前的船體首部，圖3～4為變換后的球鼻首部位，圖3船型變換采用的相關參數選擇為：a＝0，b＝6.7086，dx＝2，dy＝0，dz＝2.5，Lx＝4，Lz＝3；圖4船型變換采用的相關的參數選擇為：a＝9.2653，b＝6.2178，dx＝－2，dy＝0，dz＝－1.4，Lx＝4，Lz＝3.

圖2 變換前的母型

圖3 變換后的船型

圖4 變換后的船型

4.2 整體變換實例及CFD計算

在整體變換中，以戴維泰勒水池DTMB5415標模作為初始船型，采用整體變換（見式（5））進行線型變換，變換前后的型線對比見圖5～6.采用的相關參數為：dxf＝－0.0141，dxa＝－0.238，dy＝－0.0347，dz＝0.329，ep＝－0.261.

圖5 DTMB5415線型整體變換前后橫剖線對比

圖6 DTMB5415線型整體變換前后縱剖線對比

以上2種變換方法的參數是在其值域范圍內隨機選取.

對變換前后的線型應用CFD 技術進行船體興波阻力數值模擬，計算結果見圖7.可以看到，船型變換前后船體周圍相應的流場和壓力場發生了改變.圖8所示的為船型變換前后的縱向波切圖對比，變換后船體的波高有了明顯的變化.圖9～10為變換前后的船體表面壓力分布圖，可以看到船體表面的壓力場分布發生了較大的改變.

圖7 船型變換前后的波形對比

圖8 變換前后的縱向波切圖對比（y／L＝－0.0728）

圖9 母型船船體表面壓力分布

圖10 變換后船體表面壓力分布

5 結束語

實現船體型線自動優化的關鍵是能夠使用較少的參數控制船型的自動生成，并保證曲面的光順性.本文采用了基于變換函數修改船型曲面的方法，該方法僅僅需要很少的幾個參數就可實現船體曲面局部和整體變換，并保證了船型曲面的光順性.盡管該方法未用到船型優化中，但卻為后期基于CFD的船型精細優化研究打下了很好的基礎［8］.

［1］YUSUKE T，SATOSHI T，TOKIHIRO K.CFDbased multi－objective optimization method for ship design［J］.Int.J.Numer.Meth.Fluids，2006，52：499－527.

［2］馮佰威，劉祖源，詹成勝，等.基于船型修改融合方法的參數化建模技術［J］.計算機輔助工程，2010，19（4）：3－7.

［3］HYUNYUL K.Multi－objective optimization for ship hull form design［D］.George：George Mason University，2009.

［4］劉祖源，馮佰威，詹成勝.船體型線多學科優化［M］.北京：國防工業出版社，2010.

［5］ABT C，BADE S D，HARRIES B S.Parametric hull form design－a step towards one week ship design［C］.8th International Symposium on Practical Design of Ships and Other Floating Structures，PRADS 2001，Shanghai，September 2001.

［6］于雁云.船舶與海洋平臺三維參數化總體設計方法研究［D］.大連：大連理工大學，2009.

［7］張 萍，朱德祥，何術龍.參數化的船型設計方法［J］.中國造船，2008，49（4）：26－35.

［8］馮佰威，劉祖源，詹成勝，等.船舶CAD／CFD 一體化設計過程集成技術研究［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2010，34（4）：649－651.