一個數(shù)值求積公式的漸進(jìn)性質(zhì)＊

龍愛芳 胡軍浩

（中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 武漢 430074）

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)和計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計算方法也顯得日益重要，在計算方法中占有重要地位的數(shù)值積分也在飛速發(fā)展.而數(shù)值積分公式要提高精度的基礎(chǔ)是積分中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì).文獻(xiàn)［1－2］給出積分中值定理中間點(diǎn)的漸近形態(tài)的2個結(jié)論，文獻(xiàn)［3］給出曲線積分中值定理中間點(diǎn)的一個一般性的結(jié)果，文獻(xiàn)［4－6］根據(jù)積分中值定理中間點(diǎn)的漸近形態(tài)得到數(shù)值積分公式的漸近性.對于數(shù)值積分公式，最好是精度要高，同時計算也要簡單，這是一個矛盾的事情.要想得到高精度的數(shù)值積分公式，必須提供導(dǎo)數(shù)，精度越高需提供的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)就越高，如果被積函數(shù)比較復(fù)雜，計算導(dǎo)數(shù)是非常麻煩的.有沒有精度相對較高，而不需要計算導(dǎo)數(shù)的數(shù)值積分公式？答案是肯定的：Simpson公式只需要提供3 個節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，有3次代數(shù)精度，誤差量級為O（h5）；復(fù)化Simpson公式只需計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，誤差量級為O（h4）.本文構(gòu)造的數(shù)值積分公式同樣可以不用計算導(dǎo)數(shù)值，只需要計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，計算量與復(fù)化Simpson 相當(dāng)，但它卻有比復(fù)化Simpson更高的精度，誤差量級為O（h6），和文獻(xiàn)［5－6］相比具有形式更簡單，計算量更小等優(yōu)點(diǎn).下面介紹本文的數(shù)值求積公式.

1 數(shù)值求積公式

1.1 插值多項式的構(gòu)造

構(gòu)造滿足插值條件：

的次數(shù)不超過4的Hermite插值多項式H（x），其中xk，xk＋1，xk＋2為3個等距節(jié)點(diǎn)，即xk＋1＝xk＋h，xk＋2＝xk＋2h，則H（x）可以表示為

其中：插值基函數(shù)αk（x），αk＋1（x），αk＋2（x），βk（x），βk＋1（x）分別具有如下的表達(dá)式：

至此，滿足插值條件的Hermite插值多項式構(gòu)造完畢，余項表達(dá)式為

1.2 數(shù)值求積公式的構(gòu)造

式（1）兩邊求積分并應(yīng)用式（2）進(jìn)一步分析得：

在式（3）中令xk＝a 可得本文的第一個數(shù)值求積公式

則至少具有5次代數(shù)精度且誤差量級為O（h7）的數(shù)值積分公式構(gòu)造完畢.并有式（3）得到如下積分中值定理：

定理1 如果f（x）在區(qū)間［a，a＋2h］上有直到6階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則存在ξ∈（a，a＋2h），成立

下面研究式（5）中間點(diǎn)ξ的漸進(jìn)性.

假設(shè)有形如

的數(shù)值求積公式，設(shè)η＝a＋λh，要使式（6）的代數(shù)精度盡可能高，下面確定λ的值.

在式（6）中，顯然當(dāng)f（x）＝1，x，x2，x3，x4，x5時準(zhǔn)確成立，當(dāng)f（x）＝x6時，

左邊＝右邊，即無論η取（a，a＋2h）中的任何值，數(shù)值求積式（6）均有至少6次代數(shù)精度.

式（6）中，當(dāng)f（x）＝x7時

于是得到了本文的至少具有7次代數(shù)精度的第二個求積公式

下面研究式（7）的誤差量級.

比較左邊和右邊知數(shù)值求積式（7）的誤差量級為O（h9）.

定理2 如果f（x）在［a，a＋2h］上有直到8階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

1.3 求積公式的進(jìn)一步改進(jìn)

由于本文得到的兩個數(shù)值求積公式雖然精度高，但是必須計算節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，為了克服這一缺點(diǎn)，應(yīng)用式（5）復(fù)化求積得：

故得到本文的第三個數(shù)值求積公式：

它只需要計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，不用計算任何導(dǎo)數(shù)值，計算量與復(fù)化Simpson公式相當(dāng)，但精度卻得到很大的提高，誤差量級提高了兩次.

定理3 如果f（x）在［a，b］上有直到6階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

1.4 數(shù)值試驗

表1 三個數(shù)值求積公式的計算結(jié)果

表2 復(fù)化Simpson公式和本文復(fù)化公式（9）的計算結(jié)果

2 結(jié) 論

1）由本文的積分中值定理

給出數(shù)值求積公式

2）據(jù)積分中值定理中間點(diǎn)ξ的漸近性態(tài)，得到具有更高精度（7次）的數(shù)值求積公式

3）為了避免導(dǎo)數(shù)計算，應(yīng)用復(fù)化求積，給出本文的第三個數(shù)值求積公式

從計算結(jié)果可以看出，本文給出的3個數(shù)值求積公式均非常有效.

［1］王福良，楊彩萍.積分中值定理中間點(diǎn)漸近形態(tài)的研究［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002，22（2）：38－40.

［2］趙奎奇.積分中值定理中值研究的進(jìn)一步結(jié)果［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2006，36（4）：292－295.

［3］趙益坤.關(guān)于曲線積分中值定理中間點(diǎn)的一個一般性的結(jié)果［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（1）：166－169.

［4］YANG Caiping.A result on the mean value theorem for integrals［J］.Journal of Mathematics for Technology，2001，17（4）：91－92.

［5］劉彬清.一類高斯求積公式的極限性質(zhì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，20（4）：137－139.

［6］劉彬清.關(guān)于一些求積公式的漸近性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2002（2）：83－87.