將可對(duì)角化矩陣進(jìn)行對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔方法

高美平

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

將可對(duì)角化矩陣進(jìn)行對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔方法

高美平

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

矩陣是高等代數(shù)中一個(gè)重要的概念，而對(duì)角矩陣作為一種特殊的矩陣，它在理論研究方面有重要的意義。本文利用矩陣相似的初等變換，給出可對(duì)角化矩陣對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔的方法。

矩陣相似；初等變換；對(duì)角化；對(duì)角矩陣

形式最簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾匚?，并且研究矩陣?duì)角化問題是很有實(shí)用價(jià)值的，例如求矩陣的高次方冪、利用矩陣的特征根求矩陣的行列式值、線性變換可對(duì)角化問題等方面都有應(yīng)用。因此，矩陣的對(duì)角化問題成為高等代數(shù)研究的重要問題之一，許多專家和學(xué)者經(jīng)過不斷的努力得出了一系列有關(guān)矩陣對(duì)角化的結(jié)果［1-6］。

文獻(xiàn)［1］和［2］中，給出了矩陣的可對(duì)角化問題的判別方法和對(duì)角化的方法；文獻(xiàn)［3］根據(jù)文獻(xiàn)［1］得出了由特征矩陣和單位矩陣進(jìn)行相似的初等變換，使得矩陣對(duì)角化的一種方法；文獻(xiàn)［4］給出了關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件；文獻(xiàn)［5］給出了化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的計(jì)算機(jī)算法；文獻(xiàn)［6］給出了兩個(gè)特征根矩陣對(duì)角化的方法。

本文繼續(xù)對(duì)可對(duì)角化的矩陣如何進(jìn)行對(duì)角化的方法進(jìn)行探討，得出了將可對(duì)角化矩陣進(jìn)行對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔方法，該方法比文獻(xiàn)［1-3，6］中的方法更加簡(jiǎn)單。

1 定義和引理

定義1［1］數(shù)域F上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：

（1）互換矩陣的兩行；

（2）以F中一個(gè)非零的數(shù)k乘以矩陣的一行；

（3）把矩陣的某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）。

同樣可定義矩陣的初等列變換，稱矩陣的初等行變換和初等列變換為矩陣的初等變換。

定義2［2］由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，且分別記為P，D（k），T（k）。

定義3［3］若n階方陣A、B滿足： 存在可逆n階方陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似，稱P為相似變換矩陣。若A與對(duì)角矩陣相似，則稱A可對(duì)角化。

定義4若對(duì)矩陣A作運(yùn)算Q-1AQ，其中Q是初等矩陣，則稱對(duì)A作相似的初等變換。

引理1.1［2］n階矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成初等矩陣的乘積。

引理1.2［2］初等矩陣都是可逆的，且。

引理1.3［1］對(duì)一個(gè)s×n矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣；對(duì)A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n初等矩陣。

定理1.1對(duì)矩陣A實(shí)行相似的初等變換相當(dāng)于實(shí)行一次行和一次列的初等變換，其變換如下

（1）Pij-1Apij相當(dāng)于對(duì)矩陣A交換第i列與第j列，然后再交換第i行與第j行。

（2）Di-1（k）ADi（k）相當(dāng)于對(duì)A的第i列乘以k，然后對(duì)第i行乘以。

（3）Tij-1（k）ATij（k）相當(dāng)于對(duì)矩陣A的第i列乘以k加到第j列，然后把第j行乘以-k，加到第i行。

證明由引理1.3和1.2容易得證。特別指出可以先作行的初等變換，再作列的初等變換也可以。

引理1.4［2］相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式。

為了方便敘述引入以下符號(hào)：

ri表示矩陣的第i行；ci表示矩陣的第i列；ri×k表示對(duì)矩陣的第i行每個(gè)元素乘以數(shù)k（k≠0）；（ri，rj）表示交換矩陣的第i行與第j行；ri×k+rj表示矩陣的第i行每個(gè)元素上乘以數(shù)k加到第j行對(duì)應(yīng)的元素上作為第j行的元素。同樣用ci×k，（ci，cj），ci×k+cj表示相類似的列的初等變換。

2 主要結(jié)果

關(guān)于方陣A可否對(duì)角化的判定和計(jì)算，通常是利用特征根和特征向量來進(jìn)行。文獻(xiàn)［1］和［2］中指出先求出矩陣A的特征根，然后求出屬于各個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征向量，最后取這些特征向量作為列向量的矩陣為矩陣P，這樣P-1AP就是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角線上的元素正好是矩陣A的特征根。 文獻(xiàn)［1］和［2］的方法中涉及到計(jì)算行列式和解線性方程組等問題。

本文給出利用矩陣的初等變換解決矩陣對(duì)角化問題， 這樣不必計(jì)算行列式，也不用解若干的齊次線性方程組。以下是本文的結(jié)果。

定理2.1若矩陣A可對(duì)角化，則A可經(jīng)一系列相似的初等變換得到對(duì)角矩陣B，且B的對(duì)角線上的元素是A的特征根。

證明：由矩陣A可對(duì)角化知，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，且B是對(duì)角矩陣。

由引理1.1得P=q1q2…qs，其中q1，q2，…，qs是初等矩陣。從而B=（q1q2…qs）-1A（q1q2…qs）。

因?yàn)榫仃嚨某朔M足結(jié)合律，所以得：B=qs-1…（q2-1（q1-1Aq1）q2）…qs。

引理1.3表明矩陣A通過相似的初等變換得到對(duì)角矩陣B。從而A與B相似，又由引理1.4得， 對(duì)角矩陣B的對(duì)角線上的元素是A的特征根。證畢

注：由定理2.1得，其中A是n階可對(duì)角化的矩陣，E是n階單位矩陣，B是與A相似的對(duì)角矩陣。這樣對(duì)于可對(duì)角化的矩陣A，找到了可逆矩陣P，使得P-1AP=B，且在驗(yàn)證是不是經(jīng)過相似變換時(shí)，只要檢驗(yàn)PP-1或P-1P是不是單位矩陣即可。

3 算例

在“學(xué)生講課型”課堂互動(dòng)模式中，教師課前將授課PPT進(jìn)行分享，然后指定章節(jié)安排小組學(xué)生課上講授，授課過程中有問題教師實(shí)時(shí)補(bǔ)充，具體課堂活動(dòng)時(shí)間序列見表3所示。在該模式中，師生角色發(fā)生了轉(zhuǎn)換，即學(xué)生變成了知識(shí)的擁有者和傳播者，積極主導(dǎo)課堂教學(xué)活動(dòng)，教師則轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動(dòng)的導(dǎo)演和學(xué)生身邊的教練。小組學(xué)生授課結(jié)束后，師生就講演者的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式、特色創(chuàng)新等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)?！皩W(xué)生講課型”課堂互動(dòng)模式促進(jìn)了學(xué)生邏輯能力和表達(dá)能力的提升。

于是P=。容易驗(yàn)證P-1P=E，P-1AP=。

例1的結(jié)果與文獻(xiàn)［1］308頁得到的結(jié)果是相同的，而本文的方法相對(duì)于文獻(xiàn)［1］比較簡(jiǎn)單，計(jì)算量也少。

解： （方法一）矩陣A的特征多項(xiàng)式是。所以矩陣A的特征根是1（二重）和-1。對(duì)于特征根1，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即{（1 0 1），（0 1 0）}。對(duì)于特征根-1，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即（-1 0 1）。取

為了驗(yàn)證P-1AP是不是對(duì)角矩陣diag（1，1，-1），還需要計(jì)算出P-1。

因?yàn)閐etP=2，矩陣P的代數(shù)余子式P11=1，P12=0，P13=-1，P21=0，P22=2，P23=0，P31=1，P32=0，P33=1。

例2表明對(duì)于可對(duì)角化的矩陣中0元素比較多的情況，方法二（本文得到的方法）比方法一（文獻(xiàn)［1］和［2］的方法）計(jì)算量少，且方法二在求解的過程中，就能把可逆矩陣的逆矩陣也同時(shí)求出來，不用單獨(dú)去求逆矩陣。另外本文得到的方法只是對(duì)矩陣實(shí)行相似的初等變換，這是比較熟悉的方法，比解線性方程組和求行列式容易實(shí)施。

4 結(jié)束語

本文利用矩陣相似的初等變換給出了，將可對(duì)角化的矩陣進(jìn)行對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔的方法。該方法比文獻(xiàn)［1］和［2］中的求特征根、特征向量的方法更加簡(jiǎn)單，而且計(jì)算量小。

本文得到的方法在求解的過程不涉及到計(jì)算行列式和求解若干線性方程組，且同時(shí)能找到相似變換矩陣P及其逆矩陣P-1。只需要驗(yàn)證：P-1P是不是單位矩陣E就可以判斷對(duì)矩陣A實(shí)行的變換是不是相似變換。另外只要驗(yàn)證P-1AP是不是等于對(duì)角矩陣B就可以判斷該矩陣P是不是要找的可逆矩陣。矩陣的初等變換對(duì)于學(xué)習(xí)過《高等代數(shù)》的學(xué)者來說是非常熟悉的，所以，本文得到的結(jié)果為學(xué)者提供了將可對(duì)角化的矩陣對(duì)角化的一種簡(jiǎn)潔的辦法。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988：70-308.

［2］張禾瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)［M］.北京： 高等教育出版社，1981：194-292.

［3］許必才.矩陣相似對(duì)角化的初等變換求解［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005（2）：11-12.

［4］戴平凡，黃朝銘.關(guān)于矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件［J］.常州工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（1）：35-38.

［5］姜友誼，應(yīng)宏，王紹恒.化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的計(jì)算機(jī)算法［J］.西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002（4）：428-432.

［6］靳廷昌.有兩個(gè)特征根矩陣的對(duì)角化 ［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1997（11）：34-35.

A Simple Method for Diagonalization of Matrix

GAO Mei-ping
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Matrix is an important concept in advanced algebra, but the diagonal matrix is a special matrix which has important significance in the theoretical research. In this paper, based on the matrix similarity transformation, a simple method for diagonalization of matrix which can transformed diagonal matrix is proposed.

Matrix similarity; elementary transformation; diagonlization; diagonal matrix

O151.21

A

1674-9200（2013）03-0020-04

（責(zé)任編輯 劉常福）

2013 - 04 - 26

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目“M矩陣與其逆的Hadamard積的特征值下界估計(jì)”（2012Y270）；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（12WSXK01）。

高美平（1977 -），女，云南鶴慶人，文山學(xué)院數(shù)理系講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用研究。