非奇異弱鏈對角占優矩陣的逆矩陣無窮大范數的上界

蔣建新

（文山學院 數理系，云南 文山 663000）

非奇異弱鏈對角占優矩陣的逆矩陣無窮大范數的上界

蔣建新

（文山學院 數理系，云南 文山 663000）

文章研究了非奇異弱鏈對角占優矩陣A的逆矩陣A-1無窮大范數上界的估計問題，利用弱鏈對角占優矩陣的逆矩陣元素的上界估計式給出了上界的新的估計式，這些估計式改進了現有的結果。

弱鏈對角占優矩陣；M矩陣；范數；上界

1 預備知識

Cn×n（Rn×n）表示n×n復（實）矩陣的集合，N={1，2，…，n}，A=（aij）∈Rn×n且aii≠0。

定義1［1］設A=（aij）∈Rn×n，若J（A）=N，則稱A為嚴格對角占優矩陣（SDD）；若A不可約，di≤1，且，則稱A為不可約對角占優矩陣（IDD）；若di≤1，，且對i∈J（A），必存在非零元素鏈，其中i1=i≠i2，…，ir≠ik，0≤r≤k-1，ik∈J（A），則稱A為弱鏈對角占優矩陣（WCDD）。

定義2［1］設A=（aij）∈Rn×n，若aij≤0，A非奇異且A-1≥0（A-1是非負矩陣），則稱A是非奇異M矩陣。

定義3［1］設A=（aij）∈Rn×n是非奇異H矩陣當且僅當A的比較矩陣＜A＞是M矩陣，其中

設A=（aij）∈Rn×n，A（n1，n）表示去掉A的前n1行與前n1列得到的A的主子矩陣。

不知有多少年了，這是天葬師第一次在一個風和日麗的上午，離開天葬院，來到天葬場以外的其他地方。青辰推著輪椅，唐玉煙跟在身旁，三個人慢慢地走。輪椅的木輪吱扭吱扭地響，像單調的安眠曲，讓人心寧氣靜。

引理1［3］若A=（aij）∈Rn×n是WCDD的M矩陣，則B=A（2，n）∈R（n-1）×（n-1）也是WCDD的M矩陣，且B-1=（βij）存在，βij≥0，（i，j=2，3，…，n）。

引理2［4］若A=（aij）∈Rn×n是WCDD的M矩陣，B=A（2，n）∈R（n-1）×（n-1），A-1=（αij），B-1=（βij）。則

其中，

若J（A）=N，則。

引理3［5］設A，B∈Cn×n，若＜A＞是非奇異M矩陣，則。

引理4［5］設A=（aij）∈Rn×n是SDD，IDD，或WCDD矩陣，則A-1=（αij）滿足

且對任意的i∈N有

定理1設A=（aij）∈Rn×n是SDD，IDD，或WCDD矩陣，則A-1=（αij）存在且下列式子成立

且對任意的i∈N有

證明：我們僅證明（8）式對于WCDD矩陣成立，其他情況（SDD，IDD）的證明類似。

因為αij是A-1的元素，所以

兩邊取絕對值應用（6）式得

則（8）式得證。

由AA-1=I，有

（9）式左邊的證明類似于右邊的證明。

由di與vij的定義，di≤1，知vij≤di，因此定理1提高了引理4。

定理2設A=（aij）∈Rn×n是WCDD矩陣，B=A（1，n），A-1=（αij），B-1=（βij），則

證明：由［3］中的定理3.3 知，A是H矩陣，則＜A＞是非奇異的WCDD的M矩陣。應用引理3得。

所以我們假設AAA是非奇異的WCDD的M矩陣。

由引理2和（9）式

當2≤i≤n時，由（4）式和（8）式得αi1≤f（1）α11

MA=max{h1，hi|2≤i≤n}

定理3設A是WCDD矩陣，則

證明對定理2應用迭代法即可得證。

數值算例設，容易證明A是WCDD的M矩陣。

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The Infinity Norm Upper Bound for the Inverse of Nonsingular Weakly Chained Dominant Matrices

JIANG jian-xin
( Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Yunnan 663000 )

The paper studies the problem of estimating upper bounds on the infinite normof the inverse matrix A-1of nonsingular weak chain diagonally dominant matrix A, using the upper bound of elements of inverse matrix of weak chain diagonally dominant matrix gives the new estimation of upper bound of, and improves the existing results.

Weakly chained diagonally dominant matrix; M matrix ; Norm; Upper bound.

O151.21

A

1674-9200（2013）03-0024-04

（責任編輯 劉常福）

2012 - 12 - 20

文山學院重點學科數學建設項目（12WSXK01）。

蔣建新（1981 -），男，甘肅天水人，文山學院數理系講師，碩士，主要從事微分方程理論及其應用研究。