有界變差連續函數族的綱性

王磊杰

（文山學院 數理系，云南 文山 663000）

有界變差連續函數族的綱性

王磊杰

（文山學院 數理系，云南 文山 663000）

利用Baire綱定理證明了連續函數空間C[a，b]上有界變差函數全體是第一綱集，多數連續函數的圖像是不可求長曲線。

可求長曲線；有界變差；第一綱集

1 預備知識和定理

符號C[a，b]表示閉區間[a，b]上連續函數全體，定義

則C[a，b]成為一個完備度量空間。 熟知的事實是閉區間[a，b]上連續函數f(x)的圖像未必是可求長曲線，它可求長當且僅當f(x)是有界變差函數［1］。關于有界變差函數較細致的研究可參看文獻［2］。

Baire定理［3］完備度量空間是第二綱集。

2 主要結論

Banach證明了處處不可微連續函數全體是第二綱集，見文獻［3］。 采用相似的做法可以證明不可求長連續函數全體是第二綱集。

定理1空間C[a，b]上有界變差函數全體是第一綱集

證明：令A表示C[a，b]上有界變差函數全體所成集合。 設f(x)∈A，對f(x)的任意ε鄰域U，我們證明U中含有非有界變差函數。

則g(x)不是有界變差函數，且d(f，g)＜ε，所以U中含有非有界變差函數。

下證A是閉集。令Am表示全變差小于等于m的有界變差函數全體，則。

設f0(x)是Am的聚點，函數列fn(x)∈Am(n=1，2，…)收斂到f0(x)，因為函數列fn(x)滿足

且一致收斂到f0(x)，所以f0(x)也是有界變差函數，即Am是閉集。

綜上所述，Am是疏集，所以A是C[a，b]中的第一綱集。

由這個定理及Baire定理可得如下重要結論

定理2連續函數空間C[a，b]中非有界變差函數全體是第二綱集，即多數連續函數的圖像不可求長。

注：顯然，有界變差函數未必處處可導，例如折線函數；另外，可微函數也未必有界變差，函數

在[0，1]上全變差為無窮大［4］。 即使f(x)的導函數無界，也有可能有界變差，例如函數

這些例子也說明非有界變差函數族的綱性無法從不可微函數族的綱性直接得到。

［1］周民強.實變函數論［M］. 北京：北京大學出版社，2001：246-247.

［2］包淑華.基于有界變差函數的研究［J］. 廊坊師范學院學報，2011（2）：16-18.

［3］張恭慶，林源渠. 泛函分析講義(上冊)［M］.北京：北京大學出版社，1987：90-93.

［4］汪林. 實分析中的反例［M］. 北京：高等教育出版社，1989：308-309.

The Category of Continuous Functions of Bounded Variation

WANG Lei-jie
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

This paper justifies that the set of functions of bounded vatiation in C[a,b] is nowhere dense set by using Baire theorem，and all most graph of continuous functions are not rectifiable.

Rectifiable curve; bounded variation; nowhere dense set.

O174.1

A

1674-9200（2013）03-0032-02

(責任編輯 李世云)

2013 - 04 - 26

王磊杰（1980 -），男，河北武安人，文山學院數理系助教，碩士，主要從事動力系統研究。