三次函數的幾何性質

玉邴圖

（廣南縣第一中學，云南 廣南 663300）

三次函數的幾何性質

玉邴圖

（廣南縣第一中學，云南 廣南 663300）

新高中數學課程標準設置導數以后，中學數學報刊論述三次函數代數性質的文章多不勝數，而論述三次函數幾何性質的卻寥寥無幾。為此，文章從幾何角度對三次函數進行研究，得到三次函數極值點的一組幾何性質，它對解答或編擬三次函數的創新題目具有廣泛的應用。

三次函數；幾何性質；應用

定理1三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，兩個極值點連線的斜率。

證明：設兩個極值點為P（x1，y1），Q（x2，y2），則

因為f '（x）= 3ax2+2bx+c，令f '（x）= 0得方程3ax2+2bx+c = 0 （2）

要使三次函數有兩個極值點，則方程（2）須有兩個不相等的實數根，即。由導數與函數極值的關系知x1，x2是方程（2）的兩個根，y1=ax13+bx12+cx1+d ，y2=ax23+bx22+cx2+d，（此段內容，以下同，不再論述），由（1）得

定理2三次函數導數的兩個零點之差的絕對值。

證明：由題意和方程（2）得兩個零點之差的絕對值。

定理3三次函數的兩個極值之差的絕對值。

證明：由定理2及應用方程（2）根與系數的關系得

定理4三次函數兩個極值點間的距離。

定理5三次函數兩個極值點和原點組成的三角形面積，，|A|表示對行列式A的值取絕對值。

證明：因為坐標原點為O（0，0），故該三角形面積為

故，由（4）和定理2得

將方程（2）的兩根之和與積代入（5）得

定理6三次函數兩個極值點與其圖像和y軸交點組成的三角形面積，|B|表示對行列式B的值取絕對值。

證明方法與定理5相仿，從略。

定理7三次函數兩個極值點的中點坐標是。

定理8設三次函數的兩個極值點為P，Q，線段PQ的中點為M，則

① 當a為參數變化時，點M的軌跡方程是y = 2bx2+cx+d；

② 當b為參數變化時，點M的軌跡方程是y = -2ax3+cx+d。

證明：設M點的坐標為（x，y）由定理7得

定理9函數的兩個極值點為P，Q，O點為坐標原點，則OQ⊥OP的充分必要條件是

證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），而O（0，0），則由題意得

按向量數量積運算法則，將其整理成x1+x2與x1x2的形式以后，將方程（2）的兩根之和與積代入整理得18abcd+b2c2-4ac3-27a2d2-4b3d-9ac = 0。

定理10函數f（x）= ax3+bx2+cx+d（a≠0，兩個極值點對其圖像與y軸的交點張直角的充分必要條件是4ac2-b2c+9a = 0。

證明思路和方法與定理9相仿，從略。

三次函數是高考的重點和熱點且占分值比較重，但是，縱觀近十年高考的三次函數題，都是常見的常規題型，創新問題不多，有了上述幾個定理，可很方便地編擬一些有創意的題目，下面略舉數例說明。

例1求經過坐標原點且垂直于函數f（x）= -x3+2x2+2x+3兩個極值點P，Q連線L的直線方程。

例2已知三次函數的兩個極值之差的絕對值是2，求的值。

例3三次函數f（x）= x3+2x2-2x+1兩個極值點為P，Q，其圖像和y軸交點為M，O是坐標原點，三角形PQO的面積為S1，三角形PQM的面積為S2，求。

［1］劉宜兵.實系數一元三次方程實根的一個判別法［J］.數學通訊，2011（4）：37-38.

On the Geometric Properties of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

After derivative is introduced in the new curriculum standards for the high school math, a lot of papers arouse which discuss algebraic properties of cubic function, but there are few that discuss the geometric properties of cubic function. Therefore, the paper, from a geometric point of view, studies the cubic function, and obtains a set of extreme points of geometric properties that has wide application for innovating cubic functions test paper.

Cubic function; geometric properties; application

O122

A

1674-9200（2013）03-0034-03

（責任編輯 李世云）

2013 - 03 - 25

玉邴圖（1958 -），男，云南廣南人，云南省特級教師，全國模范教師，云南省委聯系專家，主要從事高中數學教學和解析幾何理論研究。