雙正態(tài)總體均值的置信區(qū)間估計(jì)及MATLAB實(shí)現(xiàn)*

張林泉

(廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東廣州511450)

區(qū)間估計(jì)(interval estimation)是包括估計(jì)量在內(nèi)(有時(shí)是以估計(jì)量為中心)的一個(gè)區(qū)間;該區(qū)間被認(rèn)為很可能包含總體參數(shù).重復(fù)抽取大量(樣本量相同的)樣本時(shí)，產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會(huì)覆蓋真正的p，而有些不會(huì);但其中大約有95%會(huì)覆蓋真正的總體比例.這樣得到的區(qū)間被稱為總體比例 p的置信度(confidence level)為95%的置信區(qū)間(confidence interval).在實(shí)際問題中，不僅需要求出參數(shù)的近似值，還要大致估計(jì)這個(gè)近似值的精確度和可靠性［1］.兩個(gè)總體均值的置信區(qū)間是由兩個(gè)樣本均值之差加減估計(jì)誤差.得到的估計(jì)誤差由兩部分組成:一是點(diǎn)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它取決于樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布.二是估計(jì)時(shí)所要求的置信水平為1－α?xí)r，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積為α的分位數(shù)值，取決于事先所要求的可靠程度兩個(gè)總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為分位數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差.本文就如何利用樣本函數(shù)，討論未知參數(shù)的置信區(qū)間，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，并給出在MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的程序.

1 雙正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) (、未知，但=)

設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體 X 與 Y，且 X ～ N(μ1，σ)，Y ～ N(μ2，σ)，(X1，X2，…，Xn1)為來自總體 X 的樣本，(Y1，Y2，…，Yn2)為來自總體Y的樣本，并且兩組樣本相互獨(dú)立，σ、σ未知，但σ=σ.求總體均值之差μ1－μ2的1－α置信區(qū)間.

(x1，x2，…，xn1)為總體 X 的一組樣本觀測數(shù)據(jù);(y1，y2，…，yn2)為總體Y的一組樣本觀測數(shù)據(jù).

則由兩個(gè)總體的抽樣分布中的結(jié)論可知

對于給定的置信度1－α，由t分布密度曲線關(guān)于y軸對稱，尋找臨界值tα/2(n1+n2－2)使得

當(dāng)給定α?xí)r，查自由度為n1+n2－2的t分布臨界值表，可得到臨界值 tα/2(n1+n2－2).

得到臨界值tα/2(n1+n2－2)后，由不等式

可以推得:

即有(1－α)的可能性判定μ1－μ2落在上述區(qū)間內(nèi)［2］.

例1 為了比較甲、乙兩類保險(xiǎn)公司中具有高等教育水平的員工比例，從甲類公司中隨機(jī)抽取8個(gè)，測得平均比例，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為，從乙類公司中隨機(jī)抽取10個(gè)，測得平均比例，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為S2=.13178，并且根據(jù)長期經(jīng)驗(yàn)可知，兩總體都是正態(tài)分布，方差相等，求兩總體均值差μ1－μ2的95%的置信區(qū)間［3］.

解:由于兩類公司各自隨機(jī)抽取，所以可以認(rèn)為兩組樣本獨(dú)立.又知兩總體方差未知但它們相等，選取統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)樣本觀測數(shù)據(jù)(x1，x2，…，xn1)、(y1，y2，…，yn2)，計(jì)算樣本均值的觀測值與，樣本方差的觀測值S1與S2，就可以得到一個(gè)具體的關(guān)于μ1－μ2的1－α置信區(qū)間為:

由題意 α =0.05，n1+n2－2=8+10 －2=16.

查自由度為16的t分布臨界值表，可得臨界值

結(jié)果表明:有95%的把握斷定，乙類公司具有高等教育水平員工比例的均值高，平均比例最多比甲類公司多31.033%，最少多9.68%.

2 雙正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(、未知;n1，n2≥50)

設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體 X 與 Y，且 X ～ N(μ1，)，Y ～ N(μ2，)，(X1，X2，…，Xn1)為來自總體 X 的樣本，(Y1，Y2，…，Yn2)為來自總體Y的樣本，并且兩組樣本相互獨(dú)立，、未知，求總體均值之差μ1－μ2的1－α置信區(qū)間.

分別是總體X與總體Y的樣本均值和樣本方差.

設(shè)(x1，x2，…，xn1)為總體X的一組樣本觀測數(shù)據(jù);(y1，y2，…，yn2)為總體Y的一組樣本觀測數(shù)據(jù).

當(dāng) n1、n2都充分大時(shí)(n1≥50，n2≥50)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

則由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，有

其中Uα/2為臨界值，其值可通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表得到［2］.

例2 2825本市戶口和168外市戶口家庭人均住房面積，本市戶口的平均面積為21.7258平方米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為12.17539;外市戶口平均面積為26.7165平方米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為18.96748.假設(shè)本市戶口和外市戶口家庭人均住房面積均服從正態(tài)分布，μ1表示所有本市戶口的平均面積，μ2為所有外市戶口的平均面積，求μ1－μ2的95%的置信區(qū)間［3］.

解:由于兩個(gè)總體的方差未知，且n1=2825，n2=168，有統(tǒng)計(jì)量

近似服從N(0，1).已知α =0.05，∴ Φ(Uα/2)=1 － α/2

反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，得臨界值U0.025=1.96.

∴μ1－μ2的95% 的置信區(qū)間為:

由兩總體均值差的95%的置信區(qū)間，區(qū)間不跨零，可以認(rèn)為兩總體均值存在顯著差異，本市戶口和外市戶口的家庭人均住房面積的平均值存在顯著差異.

3 雙正態(tài)總體均值置信區(qū)間的MATLAB實(shí)現(xiàn)

在例1中，在命令窗口輸入:t=tinv(0.975，16);s=sqrt((7*0.16957^2+9*0.13178^2)/16);

得到結(jié)果:{－0.310324，－0.00967568}

在例2中，在命令窗口輸入:z=norminv(0.975);

得到結(jié)果:{－7.89379，－2.08761}［4］.

4 結(jié)語

求置信區(qū)間的一般步驟如下:第一，確定樣本統(tǒng)計(jì)量.用來估計(jì)總體參數(shù);第二，選擇一個(gè)置信水平1－α;第三，找到誤差邊際，誤差邊際=臨界值*統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤;第四，指定置信區(qū)間，置信區(qū)間=樣本統(tǒng)計(jì)量±誤差邊際［5］.綜上，確定區(qū)間估計(jì)關(guān)鍵是要尋找一個(gè)待估參數(shù)θ和估計(jì)量T的函數(shù)U(T，θ)，且U(T，θ)的分布為已知，不依賴于任何未知參數(shù).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.

［1］吳喜之.統(tǒng)計(jì)學(xué):從數(shù)據(jù)到結(jié)論(第三版)［M］.北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社，2006.

［2］曾五一.統(tǒng)計(jì)學(xué)簡明教程［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2012.

［3］薛微.統(tǒng)計(jì)分析與SPSS的應(yīng)用(第三版)［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2011.

［4］Marchand P，Holland O T.Graphics and GUIs with MATLAB［M］.Florida:CRC Press，2003.

［5］拉森，法伯.基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)(第四版)［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2010.