高墩橋梁的P-Δ效應及簡化計算方法

崔 猛

（蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州 730070）

0 引言

橋墩在水平地震力作用下產生水平變位，使作用在墩頂上的上部結構的重力荷載以及墩身自身的重力荷載產生了偏心，在橋墩內將引起二次內力和變形（稱P-Δ效應）。在線性體系中，P-Δ效應也會產生非線性影響[1]。

P-Δ效應是各種橋墩中存在的一般性力學現象，也是較精確地震反應分析中必然要考慮的普遍性問題。我國現行鐵路工程抗震設計規范（2009）在此方面沒有規定。美國加州規范[2]規定：“設計中應考慮重力荷載對水平位移的動力效應，墩中產生塑性鉸后考慮P-Δ效應的墩頂位移值只能通過非線性時程反應分析精確計算。有些條件下P-Δ效應可以忽略不計”。我國公路橋梁抗震設計細則[3]規定“墩柱的計算長度與矩形截面短邊尺寸之比大于8，或墩柱的計算長度與圓形截面直徑之比大于6時，應考慮P-Δ效應”。我國臺灣規范[4]規定“采用穩定指數Qs來描述P-Δ效應的影響，當Qs＞0.05時，須考慮P-Δ效應的影響。大震下墩柱的位移會很大，P-Δ效應可能會造成動態不穩定，當Qs＞0.25時，宜進行非線性時程反應分析，計算結構的抗震能力”。盡管目前許多橋梁抗震規范都要求地震反應分析時應考慮P-Δ效應的影響[2-4]，但考慮方法不統一。不同學者的P-效應研究結論也不盡相同[5-6]。目前，關于P-Δ效應對結構動力反應影響的主要觀點是，P-Δ效應往往增大地震反應，彈性小變形下影響較小。

本文定量研究P-Δ效應對鐵路高墩橋梁地震反應的影響及其簡化計算方法。

1 考慮P-Δ效應的地震反應分析方法

不考慮P-Δ效應影響時，在水平地震作用下結構體系的運動方程為：

當考慮P-Δ效應影響時，結構體系的運動方程為:

本文采用直接形成等效側向力的方式建立橋墩的影響剛度矩陣[KP][7]，作用在各質點上的等效側力自上而下逐個計算（各質點編號也自下而上編排，見圖 1）。圖 1（c）中 Wi（i=1,2,3…，n）是第 i個質點所受的重力荷載，為i單元以上的重力荷載之和。xi是第i個質點相對于墩底的水平位移，Δi是相鄰質點間的相對位移，且有以下關系Δi=xi-xi-1。第i個質點處的受力和變形情況見圖1（d），圖中Qi是i質點處的剪力。

圖1 影響剛度矩陣計算圖示

第i節點由重力效應作用的等效附加剪力為：

橋墩的等效側向力向量{F}可以寫成:

式中，{F}為體系的等效側力向量;[KP]為體系的影響剛度矩陣。

2 計算實例

為了研究P-Δ效應對高墩地震反應的影響，選取某鐵路橋梁的4號高墩為研究對象（見圖2）。4號墩身高H=92 m，墩帽高3 m。橋墩為順、橫橋向及截面內外均有放坡的空心矩陣截面。單跨簡支鋼桁梁重7 600 kN（含二期恒）。橋址的設計水平地震基本加速度A=0.2 g，II類場地，特征周期為0.55 s。

圖2 鐵路高墩橋梁立面圖（單位：cm）

順橋向輸入圖3所示的水平反應譜曲線,考慮高階振型的影響進行彈性地震反應分析。保持輸入地震動不變，以墩頂水平位移與墩底彎矩為指標，通過分別調整梁重與墩高H考查P-Δ效應的變化規律。計算中按墩底與地面固定考慮，分析結果列于表1。

圖3 反應譜曲線

表1 P-Δ效應對高墩地震反應的影響

由表1可以看出，對于各種墩高及梁重而P-Δ效應都會放大地震作用下的墩頂位移與墩底彎矩，這一點與目前已有的研究結論一致。我國公路橋梁抗震設計細則規定“墩柱的計算長度與矩形截面短邊尺寸之比大于8，或墩柱的計算長度與圓形截面直徑之比大于6時，應考慮P-Δ效應”。表1中的各種工況下的橋墩均已滿足需要考慮P-Δ效應的條件。但從表1來看，大多數工況下考慮P-Δ效應對墩頂位移與墩底彎矩的影響較小，計算中可以忽略P-Δ效應。

因此，考慮P-Δ效應對鐵路高墩橋梁的影響判別條件尚須探討。

3 P-Δ效應的判別條件與簡化計算方法

臺灣橋梁抗震規范[4]中的穩定指數Qs的表達式，如下：

式（7）中，P 為墩底的軸力；Δ0為在荷載 Vu作用下墩頂的彈性位移；Vu為墩底的剪力；lc為墩高。

引入式（7）對表1中的數值進行分析，結果列于表2及圖4～圖8。表2中位移或彎矩的增大率定義為：

增大率=（考慮P-Δ效應-不考慮P-Δ效應）/不考慮P-Δ效應×100。

圖4 92 m高墩的P-Δ效應增大率

圖5 92 m高墩的梁重/自重關系圖

圖6 穩定指數與墩底彎矩增大率

圖7 穩定指數與墩頂位移增大率

圖8 穩定指數與梁重及自重之比

從表2及圖4～圖8可以看出，墩高保持不變時，P-Δ效應對墩頂水平位移和墩底彎矩的影響與梁重或墩梁重之比及穩定指數有關，并且各墩高的條件下均有此規律。穩定指數與墩梁重之比線性相關，在0～8%范圍內，地震作用下墩頂位移及墩底彎矩的P-Δ效應的增大率可以用穩定指數近似表示。多遇地震下鐵路高墩橋梁抗震設計時，可以采用穩定指數Qs來判定P-Δ效應的影響。P-Δ效應對墩頂位移與墩底彎矩的增大值可近似等于穩定指數Qs。當穩定指數Qs＞5%時，P-Δ效應對高墩地震反應的影響也約為5%，因此須考慮P-Δ效應的影響。基于以上研究，本文給出的P-Δ效應簡化計算公式如下：

表2 穩定指數的影響因素

式（8）、（9）中 Mdelta、Δdelta分別為考慮 P-Δ 效應的墩底彎矩、墩頂位移；M、Δ分別為不考慮P-Δ效應的墩底彎矩、墩頂位移；Qs為穩定指數，按式（7）計算。

4 結論

（1）P-Δ效應會增大高墩的墩頂水平位移與墩底彎矩，不考慮P-Δ效應偏于不安全。

（2）墩高不變時，穩定指數隨梁重與墩重之比增大而增大。

（3）梁重與墩重之比不變時，穩定指數隨墩高增大而增大。

（4）P-Δ效應對墩頂水平位移與墩底彎矩的增大率與穩定指數有一定的相關性。

（5）P-Δ效應對高墩墩頂水平位移與墩底彎矩的放大可近似用穩定指數表示。

[1]胡聿賢.地震工程學[M].北京：地震出版社，2006.

[2]Caltrans seismic design criteria version 1.4[S],2006.

[3]中華人民共和國交通運輸部.公路橋梁抗震設計細則[S].北京：人民交通出版社，2008.

[4]臺灣交通部.鐵路橋梁耐震設計規范[S].臺北：金新印刷影印行，2006.

[5]李睿,董明.考慮P-Δ效應的高墩抗震計算[J].云南工業大學學報,1999,15（1）:61-66.

[6]劉坤,陳興沖,夏修身.鐵路空心高墩的地震反應分析[J].蘭州交通大學學報,2005,24(4):20-23.

[7]尹之潛,李樹楨,楊淑文.高層建筑的P-Δ效應和變形計算方法[J].地震工程與工程振動,1992,12(3):71-76.