高中數學概念課教學初探

●潘洪艷

《高中數學標準》指出：高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。下面結合概念教學的一般過程，談談筆者在數學教學中的一些體會。

一、引入概念時創設情境

（一）用實例、實物或故事引入概念

形成數學概念的首要條件是使學生獲得十分豐富且合乎實際的感性材料。在進行概念教學時，要讓數學與學生的現實生活密切結合，使學生感受到數學是活的，是富有生命力的。這樣不僅有利于學生對于所研究對象的感性認識，在此基礎上認識其本質，還能促進數學直覺的形成，數學思維的發展，更能激發學生思考和創造的源泉。同時，在現實問題的解決中發現的數學概念、形成的數學思想方法，更能促進學生在以后遇到相關問題時自覺地運用有關的數學經驗去思考、解決問題。

例如，在學習《向量的加法》時，教師借助多媒體動態演示學生熟悉的情景：①今年春節探系，臺灣的李先生先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和是什么？ ②在一條河上，兩拖船牽引一艘駁船從A到B，牽引力分別為3000 牛和1500 牛，牽繩之間的夾角為60°，再用一條拖船牽引從A 直接到B，讓學生求這艘拖船的牽引力；又如學習《函數的單調性》時，可先讓學生觀察某一段時間內溫度的變化圖像，近一段時間內濟南市的地下水位變化圖像等生活實際問題引導學生發現研究函數單調性的必要；再如認識棱柱、棱錐、棱臺時，可拿出模型讓學生分析結構特征，抓住其本質，建立概念。還有學習《指數函數》時，可以讓兩個學生演個短劇：杰米碰到一個叫韋伯的人，韋伯對他說：“我想和你訂個合同，我將在整整一個月內每天給你十萬元，而你第一天只需給我一分錢，以后每天給我的錢是前一天的兩倍”杰米非常高興，合同生效了。全班同學一起用計算器幫杰米算每天的支出，卻發現第31天杰米要付給韋伯1000多萬元！這樣引入，讓學生體會到生活中的指數函數，而且還感受到了當底數大于1 時指數函數的增加速度，體會指數爆炸。

這些設計，不僅使引出新概念水到渠成，而且讓學生依據已有的材料和知識做出符合一定經驗與事實的推測，使學生經歷數學家發現概念的最初階段，容易激發學生的探索欲望。同時，也體現了新《數學課程標準》中“內容的呈現應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求”這一理念要求。

（二）讓學生親自做試驗，體驗概念

在教學中可借助富有探究性、挑戰性的問題，讓學生在試驗中親自體驗數學概念，通過自己的思考建立起對概念理解，逐漸認識概念本質。如研究“幾何概型”時，可讓學生親自作轉盤游戲，游戲規則：把一個質地均勻的轉盤的圓周12 等分，按1:2:2:3:4的比例標上五種獎品的名稱，隨機轉動一下，當指針指向這段弧時，就可以獲得這份禮物，如果指針恰好指向兩端弧的交點，以該點右側獎品為準。讓學生在游戲中了解到指針指向轉盤圓周上每一點的可能性都是一樣的，而“指針指向某獎品區A的弧上一點”這一事件發生的概率只與A的幾何度量成正比，而與A的位置和形狀無關，從而順利理解幾何概型的概念。

研究橢圓概念時，可以同位兩人合作，一位同學在一張紙上按住長為2a的繩的兩端點，并讓兩端點之間距離為2c（2c＜2a），另一位同學用筆把繩拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動一周，畫出橢圓；也可以根據問題：定點A（-2,0），P 為圓C：（x-2）2+y2=25 上一動點，P 與A 連線的垂直平分線與PC 相交于M，求點M的軌跡方程。設計如下試驗：在一張圓形紙片內找不同于圓心C的一點A，折疊紙片，使圓周上有一點與點A 重合，折疊多次，形成一系列折痕，讓學生動手后觀察自己折疊出來的折痕圍成一條什么曲線，并探究本質特征：曲線上的點到定點C和點A的距離和等于半徑，從而形成概念，研究雙曲線概念時可同學兩人合作利用拉鏈繪出曲線，也可仿照橢圓借助問題：定點A（-2，0）,P 為圓C：（x-2）2+y2=1 上一動點，P 與A 連線的垂直平分線與PC 或PC的延長線交于點M（PC 與PA 不垂直），求點M的軌跡方程，設計試驗：在紙上畫圓C，并在圓外取一點A，在圓C的圓周上任取一點P，對折紙張，使點P 與點A 重合，連結PC（或CP）并延長交折痕與點M，在圓周上任取其他點，重復上述步驟約5-6 次，觀察點M 連成的曲線，探究本質，發現：││MC│-│MA││=r（r 為該圓半徑）。在試驗探究的過程中，由學生親身體驗形成的概念會讓學生理解更深刻，記憶更牢固，興趣更濃厚。

（三）在學生原有的基礎上引入新概念

（四）數學本身內在需要引入概念

中學數學的有些概念是為了解決數學內部的問題而引入的，如為了解決x2=-1的解而引入了復數的概念，為了確定兩條異面直線的位置而引入了兩條異面直線的成角和距離等。這時不妨從問題出發，創設情境，讓學生在認知沖突中激發求知欲望。

二、形成概念時探索交流

形成概念是概念教學中至關重要的一步，是通過對具體事物的感知、辨別而抽象概括的過程，這個過程應該通過學生自主探究去完成，用自己的頭腦親自去發現事物的本質屬性或規律，進而獲得新概念。

如《向量的加法》這一節，在學生對具體、直觀問題的觀察、體驗中形成了對向量加法概念的感性認識，而且自然地得出：向量可以進行加法運算，兩向量的和仍是一個向量以后，教師可仍不急于給出定義，而是把探求新知的權利交給學生，讓學生根據上述兩個實例，自己抽象概括出定義，鼓勵學生大膽發表自己的見解。這時，會有學生用三角形法則定義，也會有學生用平行四邊形法則定義，在語言敘述上也不會很清楚。但在討論交流中，學生會迫切地想知道：向量的加法到底如何定義呢？此時再讓學生帶著問題閱讀課本中的定義，完善自己的想法。教師進行多媒體演示，幫助學生理解，同時滲透數形結合、分類討論思想。由于創設的情境是學生熟悉的，提出得問題正處于學生的“最近發展區”內，而且在解決過程中答案不一，互有爭論，從而大大激發了學生在獲取新知過程中主動創造的潛能。

在概念的形成中教師要努力創造條件，給學生提供自主探索的機會和充分的思考空間，讓學生在觀察、操作、實驗、歸納和分析的過程中親自經歷概念的形成和發展過程，進行數學的再發現、再創造。

三、表述概念時必須準確

概念形成之后，應及時讓學生用語言表述出來，以加深對概念的印象，促進內化。語言作為思維的物質外殼，教師可從學生的表述中得到反饋信息，了解、評價學生的思維結果，由于數學概念是用科學的、精練的數學語言概括表達出來的，它所揭示事物的本質屬性必須確定、無矛盾、有根有據并合情合理。因此培養學生正確的表述概念，能促進學生思維的深刻性。

四、鞏固概念運用變式

鞏固是概念教學的重要環節，鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，引導學生正確復述，其次要運用變式加深理解，所謂變式，就是使提供給學生的各種感性材料不斷變換其表現形式，使非本質屬性時有時無，而本質屬性保持恒在。恰當運用變式，能使思維不受消極定勢的束縛，實現思維方向的靈活轉換，使思維呈發散狀態。

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓練有助于糾正學生的思維偏差。學生在感知立體幾何圖形的過程中，往往會受到圖形的一些非本質屬性的影響，把畫在黑板上或書上的標準圖形看作本質屬性。如將正三棱錐S-ABC 畫成A-SBC 時，學生易錯誤地說它不是正三棱錐。因此利用變式圖形，如呈現若干個位置或大小不同的正三棱錐，讓學生觀察辨認，就有利于克服感知圖形時的消極影響，幫助學生從方位和量的比較中引起對知識更為深刻的正面思考，使獲得的概念更精確、更穩定。

當學生初步理解概念后所進行的鞏固應用練習也應注意適度的“變式”，如學完直棱柱后，可讓學生判斷下列說法是否為直棱柱：棱柱有一條側棱與底面垂直；棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直；棱柱有一側面是矩形，且與底面垂直；棱柱有兩個側面是矩形，且與底面垂直；然后再讓學生思考：四棱柱、平行六面體、長方體、正方體、直平行六面體、直四棱柱之間的關系。這樣既梳理鞏固了知識，又培養了學生聯想、綜合、類比等能力，符合知識建構和多方面發展的要求。例如異面直線概念的教學，結合圖形變式，可用下列變式進行辨析訓練：分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？在空間不相交的兩條直線一定是異面直線嗎？兩條異面直線指的是某平面內的一條直線和這平面外的一條直線嗎？分別和兩條異面直線a、b 同時相交的兩直線c、d 一定是異面直線嗎？

這樣，在教學中設計對比鮮明的變式，使學生在近中求異，在錯綜復雜的聯系中，多角度、深層次分析問題，發現概念的本質，加深對概念的理解。

五、運用概念時聯系實際

培養學生的實踐能力對于提高學生的創造力起著至關重要的作用，只有積極參與實踐，才能發現新問題，提出新見解、新思想、新方法，才能把握創造的機會進行成功的創造，提高創新能力，讓學生用學到的數學概念解決日常生活中的實際問題，是概念教學中培養學生應用意識的有力手段。

概念的形成是一個由特殊到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到特殊的過程，它們是學生掌握概念兩個階段。通過運用概念解決實際問題，可以加深、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握，并且在概念的運用過程中培養學生的實踐能力。

綜上所述，新課改理念下的數學概念教學，是按照人類認識科學的一般規律和途徑：發現問題——形成猜想——演繹結論——應用拓展來進行的，讓學生經歷這樣一個過程，不但能使學生逐步掌握概念的本質，還能使學生感受到探究與合作的無限快樂，感覺到自己精神、智慧力量的增長，使學生的個性得到充分的發展。