基于李群方法的貝塞爾函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)

徐常偉,于凱,朱峰

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,四川成都 610031)

基于李群方法的貝塞爾函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)

徐常偉,于凱,朱峰

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,四川成都 610031)

基于李群的表示理論,首先討論了歐拉群的表示及其性質(zhì);然后,從該群的表示理論出發(fā),分別導(dǎo)出了第一類貝塞爾函數(shù)的積分形式和冪級(jí)數(shù)形式.該研究表明了群方法可以求解對(duì)稱邊界問題的解析波函數(shù),并為用群方法求解電磁場問題創(chuàng)造了條件.

全域波函數(shù);貝塞爾函數(shù);李群;群表示

1 引言

長計(jì)算時(shí)間和大存儲(chǔ)容量的要求是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域中限制矩陣方法應(yīng)用的主要障礙.選用全域波函數(shù)求解可以有效地節(jié)約計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)容量,而且能減少數(shù)值方法的誤差,這也是計(jì)算電磁學(xué)發(fā)展的方向之一[1-2].貝塞爾函數(shù)作為一類全域波函數(shù),在電磁場的數(shù)學(xué)物理方法中占有非常重要的地位.傳統(tǒng)方法是通過對(duì)圓柱邊界用分離變量法求解波動(dòng)方程得到貝塞爾函數(shù)[3-5].然而,當(dāng)散射體邊界對(duì)稱特性不規(guī)則時(shí),很難通過分離變量法求得特定問題的全域波函數(shù),因此非常有必要尋找新途徑.

群論作為近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,目前在理論物理、核物理、高分子化學(xué)中得到越來越廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[1]首次將群方法用于對(duì)稱散射結(jié)構(gòu)的減元處理,文獻(xiàn)[6]首次用群方法實(shí)現(xiàn)球諧函數(shù).而本文將用李群方法實(shí)現(xiàn)貝塞爾函數(shù).相對(duì)于分離變量法,群方法有如下特點(diǎn):傳統(tǒng)的貝塞爾函數(shù)的加法定理,變成了特定邊界對(duì)稱群的不可約表示的乘法定則,也就是說,李群方法可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的級(jí)數(shù)方法[7].

2 歐拉群E2的性質(zhì)

一個(gè)平面所有的變換構(gòu)成的群,叫歐拉群,記為E2,它是一個(gè)三參數(shù)李群.其任一元素可表示為T()R(θ).其中,R(θ)表示平面繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角θ,T()=(a,b)表示平面沿著矢量平移.

平面上任意點(diǎn)(x,y)在群元素的作用下坐標(biāo)(x′,y′)是[8]:

很顯然,群元素T(→a)R(θ)由兩個(gè)算子共同表示,一個(gè)是平移算子T(),另一個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)算子R(θ).這兩個(gè)算子獨(dú)立構(gòu)成的群是群E2的子群,而且T∩R={e}.群E2的每一個(gè)元素都能由兩個(gè)子群元素的乘積表示.一般來說,該乘積不滿足交換律,即

3 貝塞爾函數(shù)的實(shí)現(xiàn)

4 結(jié)論

通過李群的表示理論,實(shí)現(xiàn)了電磁場的數(shù)學(xué)物理方法中重要的貝塞爾函數(shù).通過該研究,為用群方法求解滿足特定對(duì)稱條件的電磁場問題創(chuàng)造了條件.即便對(duì)于復(fù)雜的邊界條件,也可以用解析延拓的方法,將原邊界條件化為有對(duì)稱性質(zhì)的主要部分和無對(duì)稱性質(zhì)的微擾部分,然后通過迭代的方法求解微擾.這正是下一步研究的重點(diǎn).

[1]朱峰,楊海川,任朗.處理具有對(duì)稱和反對(duì)稱結(jié)構(gòu)電磁散射的群理論[J].中國科學(xué):E輯,1997,40(23):249-254.

[2]朱峰,任朗,張善謀.用于處理六邊對(duì)稱結(jié)構(gòu)電磁散射的GIM技術(shù)[J].微波學(xué)報(bào),1997,13(2):134-138.

[3]Leung Tsang,Jin Au Kong,Kung-Hau Ding.Scattering of Electromagnetic Waves:Theories and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,Inc.,2000.

[4]Akira Ishimaru.Electromagnetic Wave Propagation,Radiation,and Scattering[M].New Jersey:Prentice-Hall,Inc.,1991.

[5]楊儒貴,張世昌.高等電磁理論[M].北京:高等教育出版社,2008.

[6]趙柳,朱峰,白霄波.球諧基函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)的一種群方法[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2004,39(2):213-216.

[7]陶瑞寶.物理學(xué)中的群論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1986.

[8]Mathai A M,Hans J Haubold.Special Functions for Applied Scientists[M].New York:Springer Science Business Media,LLC.,2008.

Mathematical derivation of Bessel functions from Lie group theory

Xu Changwei,Yu Kai,Zhu Feng
(Department of Electrical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu610031,China)

This paper is from a Lie-group theoretical background,firstly the representation and properties of Euclidean group are discussed;Afterwards integral and power series representations of Bessel functions of the first kind are derived from the representation of Euclidean group.The study shows that analytic wave functions of symmetry boundary condition can be obtained in group approach,which creates conditions for solving electromagnetic problems by group method.

global wave functions,Bessel function,Lie group,group representation

O152.5,O411.1

A

1008-5513(2013)03-0275-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.008

2012-12-26.

國家自然科學(xué)基金(60971041).

徐常偉(1984-),博士生,研究方向：群論,電磁散射,微波理論.

2010 MSC:22E10