冪律流體偏心環(huán)空流動中的波動壓力修正模型

李征，朱宏武，孔祥領，范效禮，郝健生

（1.中國石油大學（北京）機械與儲運工程學院，北京 102249；2.中國石油技術開發(fā)公司，北京 100028）＊

在石油鉆井過程中，下放鉆桿或套管時，管柱的往復運動會造成井眼中的壓力波動。此壓力波動較大時會造成井塌或井漏等事故［1－6］。Burkhardt在現(xiàn)場試驗的基礎上，推導出了冪律流體井內波動壓力的半經(jīng)驗公式［7］。然而，Burkhardt公式僅適用于管柱軸心與井眼軸心重合的情況（同心環(huán)空），并不適用于偏心環(huán)空流動。在傾斜井、水平井中，管柱由于重力作用，其軸線與井眼中心偏離，環(huán)空中的流動屬于偏心環(huán)空流動。目前，對于偏心環(huán)空層流中的壓力波動計算主要采用2種計算方法，分別是雙極坐標法［4］和無限細分法（把偏心環(huán)空轉化為一系列的同心環(huán)空模型疊加）［5－7］。對于偏心環(huán)空紊流流動，主要采用CFD 模擬［8］和試驗［9］的方法來探索其規(guī)律。本文通過CFD 數(shù)值計算，分析了環(huán)空比和偏心度對冪律流體偏心環(huán)空中壓力梯度的影響，通過數(shù)值擬合建立了Burkhardt公式中的常系數(shù)、泥漿粘附系數(shù)與偏心度和環(huán)空比之間的函數(shù)關系，從而擴展了Burkhardt公式的適用范圍，使之可以計算冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中的壓力梯度。利用已有文獻數(shù)據(jù)對擴展Burkhardt公式進行了驗證，誤差＜9%，從而驗證了該公式的可靠性。

1 數(shù)學模型

假設流體在偏心環(huán)空中作等溫紊流流動，內管作軸向運動。柱面坐標系下其速度場為v（vz（r，θ），vr（r，θ），0），根據(jù)N－S 方程冪律流體偏心環(huán)空紊流流動的控制方程為

式中：ρ為冪律流體密度；p為環(huán)空壓力；f（r）、f（z）為重力加速度在柱坐標系中的分量。

偏應力分量可以表示為

式中：η為冪律流體視黏度。在本模型中η的表達式為

式中：K為冪律流體稠度系數(shù)；n為流性指數(shù)。偏心環(huán)空軸向流動的邊界條件為

式中：vp為內管運動速度，m／s；Ri、Ro為內外管半徑，m。

求解式（1）～（7）即可得到偏心環(huán)空紊流流場中的各個分量（速度、壓力、流量）。但是，式（1）～（7）構成了1組耦合的擬線性偏微分方程組，求解很困難。因此，已有的研究中多采用數(shù)值模擬和試驗的方法。

2 Burkhardt公式

1960年，Burkhardt［3］根據(jù)現(xiàn)場測得的試驗數(shù)據(jù)提出了井內波動壓力的計算公式，其表達式為

式中：psb為波動壓力，kPa；f為摩阻系數(shù)，無因次；Re為雷諾數(shù)，無因次；ρ為流體密度，g／cm3；L為運動管柱長度，m；dh，do分別為內外管直徑，m；為環(huán)空平均流速，m／s。

式中：vi為環(huán)空入口流速，m／s；vP為由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速；Kc為泥漿粘附系數(shù)，無因次，在冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中取0.5。

在下套管過程中，套管攜帶一部分流體隨套管一起向下運動，在井底上返進入環(huán)空中。泥漿粘附系數(shù)代表了套管攜帶流體能力的大小，進而影響環(huán)空中的平均流速。由式（8）～（9）可以看出，同心環(huán)空中波動壓力與泥漿粘附系數(shù)呈現(xiàn)正相關趨勢。

Burkhardt公式僅適用于同心環(huán)空流動。將Burkhardt公式中的常數(shù)1.96用字母A 代替，其余參數(shù)不變。式（8）變?yōu)?/p>

當環(huán)空內外管尺寸和流體性質保持不變，流場從同心環(huán)空變?yōu)槠沫h(huán)空時，只有常數(shù)A 與泥漿粘附系數(shù)Kc受到影響，其余參數(shù)保持不變。本文通過CFD 數(shù)值計算，得到不同環(huán)空比n 和偏心度e 對常數(shù)A 和泥漿粘附系數(shù)Kc的影響規(guī)律，將Burkhardt公式推廣到偏心環(huán)空的情形。

3 數(shù)值模擬

取偏心環(huán)空內管直徑dh為24.45cm，環(huán)空比n＝do／dh依次取值0.3、0.4、0.5、0.6，偏心度e＝2r／（dh－do），式中r為偏心距。e依次取值0.25、0.5、0.75、1.00，在Fluent中建立如圖1所示模型。環(huán)空入口流速vi＝1.35 m／s，內管運動速度vp從0.4m／s到1.2m／s均勻遞增。

圖1 數(shù)值計算模型

由于模型中只是選取了套管下入時的井眼環(huán)空中的1段進行模擬，環(huán)空入口處隨套管運動的部分流體并沒有上返進入環(huán)空中，因而計算結束時，入口處截面上的平均流速會減小，這部分減小的流速即為由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速，用Δvi表示，則可用Δvi的變化代表泥漿粘附系數(shù)的變化。

式中：vil為計算后的入口截面平均流速。

假設同心環(huán)空中由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速為Δvic，偏心環(huán)空中的對應項為Δvie，根據(jù)式（9）偏心環(huán)空中的泥漿粘附系數(shù)可以表示為

式中：Kce為偏心環(huán)空中的泥漿粘附系數(shù)。

根據(jù)式（9）即可得到偏心環(huán)空中的平均流速。將不同偏心度下的和CFD 計算得到的環(huán)空波動壓力psb代入公式（10）即可求得不同偏心度下的常數(shù)A。定義偏心環(huán)空中泥漿粘附系數(shù)和常系數(shù)與同心環(huán)空中對應參數(shù)的比值為ΔKc、ΔA。

4 計算結果分析

通過CFD 計算得到了不同偏心度與環(huán)空比條件下的波動壓力與入口截面的平均流速，經(jīng)過前面所述的計算即可得到不同環(huán)空比n和偏心度e 下的常系數(shù)A 和泥漿粘附系數(shù)Kce與同心環(huán)空下對應參數(shù)的比值ΔKc、ΔA。

如圖2所示為環(huán)空比n＝0.6時同心環(huán)空中波動壓力隨套管下放速度的變化曲線。將本文數(shù)值模擬的結果與Burkhardt公式的計算結果相比，誤差最大值為4%，說明本文的數(shù)值模型能夠正確地模擬環(huán)空井眼壓力波動。

圖2 同心環(huán)空中波動壓力隨內管軸向速度變化曲線

圖3給出了當環(huán)空比n＝0.6時ΔKc隨軸向速度的變化曲線，當軸向速度從0.4增大到1.2時ΔKc變化很小，最大變化量為6%，可以認為在冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中ΔKc不發(fā)生變化，這表明偏心環(huán)空流動中泥漿粘附系數(shù)Kc不隨套管運動速度發(fā)生變化，這與同心環(huán)空流動［1］中的規(guī)律一致。

圖3 ΔKc隨內管軸向速度變化曲線

圖4為ΔKc在不同的環(huán)空比下隨偏心度的變化曲線。在不同的環(huán)空比下ΔKc隨偏心度的變化趨勢與波動壓力相同，這表明泥漿粘附系數(shù)隨偏心度的變化趨勢與波動壓力相同，這與同心環(huán)空中由Burkhardt公式得出的規(guī)律一致。

由圖4可知：隨著環(huán)空比的增大，環(huán)空中的波動壓力增大，這與汪海閣［6］等人得出的層流理論的規(guī)律相同。同樣，由圖4還可以看出：在環(huán)空比較大時（n＝0.6），環(huán)空中的波動壓力隨偏心距的增大而減小，這與汪海閣［6］等人的結論是一致的。當環(huán)空比較小時（n≤0.5），波動壓力隨著偏心度的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，這與張艷娟［9］的試驗結果一致。

圖4 ΔKc隨偏心度變化曲線

根據(jù)數(shù)值計算的結果所求得的不同環(huán)空比和偏心度下的ΔKc，ΔA 如表（1）～（2）所示。

表1 不同環(huán)空比和偏心度下的ΔKc

表2 不同環(huán)空比和偏心度下的ΔA

根據(jù)表1～2中的數(shù)據(jù)擬合出冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中泥漿粘附系數(shù)Kc和常系數(shù)A 關于環(huán)空比n 和偏心度e的函數(shù)，即

根據(jù)式（10）、（13）、（14）可求得在任意環(huán)空比和偏心度下的冪律流體偏心環(huán)空波動壓力。在環(huán)空比為0.76的條件下，利用Haciislamoglu［10］的公式對其進行驗證，其結果如圖5所示，最大誤差為9%。

圖5 波動壓力隨偏心度變化曲線

5 結論

通過CFD 計算得到了不同環(huán)空比和偏心度下的泥漿粘附系數(shù)和Burkhardt公式中的常系數(shù)，從而將Burkhardt公式推廣到偏心環(huán)空的情形。數(shù)值模擬結果表明：當環(huán)空比n＞0.5時，冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中的波動壓力隨偏心距的增大而遞減；當環(huán)空比n≤0.5時，波動壓力隨著偏心度的增大而呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，這與已有文獻中的結論一致；最后，將得到的擴展Burkhardt公式的計算結果與文獻中的結果進行了對比，誤差＜9%，表明該公式能夠有效計算冪律流體偏心環(huán)空紊流流動中的波動壓力。

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