采油用單螺桿泵排量的優化設計

韓國有，徐恒斌，宋玉杰，陳德海

（東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江大慶 163318）＊

單螺桿泵與其他人工舉升設備相比具有很多的優點，例如投資少、設備結構簡單、操作方便、節能效果明顯以及適應性強等。隨著國內外各大油田開發進程的日益加快，油田開發的難度不斷增加，部分油井呈現含水量高、含砂多等特點。單螺桿泵憑借其所特有的優越性能，在油田的應用數量呈明顯上升趨勢，并有望成為油田主要的機采方式之一。

但是，單螺桿泵在國內外油田的使用過程中也受到了諸多條件的限制，例如排量、揚程、工作溫度、應用條件和管理經驗等方面的限制，這些局限性嚴重制約著螺桿泵采油技術的推廣和普及。

為此筆者結合文獻［1］，在對短幅內擺線型采油用單螺桿泵轉子和定子線型進行分析的基礎上，對其排量進行了優化設計，得出了螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳匹配關系。

1 線型分析

螺桿泵轉子和定子的線型有很多種，本文僅討論短幅內擺線的線型，即定子線型是短幅內擺線等距曲線，而轉子線型則是由定子線型按外滾法運動所得的內包絡線（比定子曲線少1頭）［2－5］。

1.1 定子骨線方程

半徑為R2的圓沿半徑為R1的圓做相對純滾動，則R2圓平面上任意點M 在R1圓平面上的軌跡稱為擺線。如圖1所示，該任意點M 稱為發生點或動點，R2圓稱為滾圓，R1圓稱為導圓。發生點到滾圓圓心的距離稱為動點距，常用d 表示，導圓圓心到滾圓圓心的距離O1O2稱為中心距。變幅系數K＝d／R2，R1／R2＝N，N為自然數，即周期為N，等效動點為1。M 點的軌跡必為N 頭單循環內擺線。

圖1 內擺線的形成

以導圓滾角θ為參量，當形成θ時，通過矢量關系推導可得內擺線的復矢量方程為

上式中n＝N－1，0≤θ≤2π，0＜K＜1，括號內的部分反映內擺線的形狀特征，R2反映尺寸的影響。當R2取不同值時，可得到一族相似的內擺線，若令

它是R2＝1時的內擺線，稱為單位擺線，借助單位擺線可使分析問題和運算簡化。

1.2 轉子骨線方程

轉子骨線的形成原理如圖2所示，以半徑為（NK）的圓作動瞬心圓，攜帶R0（θ）沿定瞬心圓（nK）外側作純滾動。它相當于定子骨線R0（θ）繞自身形心O2做自傳，自轉角為φ／n，同時自身形心O2繞定坐標系O1作半徑為偏心距E的公轉，其公轉角為Nφ／n。

圖2 定子骨線的運動

則定子骨線運動的復矢量方程為

2 優化設計

目前，采油用單螺桿泵的最大排量＜400m3／d，這就導致其在對排量要求較高的大儲量油田中的使用受到限制。因此，本文利用拉格朗日乘數法對采油用單螺桿泵的排量進行優化設計，確定螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關系。

2.1 設計變量

本著用最少的設計變量反映最主要的特性，同時考慮各變量間相互獨立的原則，本文選取了螺桿泵定子橡膠外徑Dp和定子螺距ph為設計變量。記為X，即

2.2 目標函數

螺桿泵的排量表達式為［6］

式中：i為定轉子頭數比；ph為定子螺距，mm；Dp為定子橡膠外徑，mm；th為定子橡膠的最小壁厚（雙邊），mm；ω為轉子角速度，rad／min。

當忽略二次流動時，采油單螺桿泵傳送的流體介質中1個流體粒子的流動速度表達式為［3］

式中：n為轉子頭數。

下面以短幅內擺線型采油用單螺桿泵轉子和定子的骨線方程為優化問題的幾何描述，用拉格朗日乘數法求式（4）在約束條件式（5）下的極值，進而對螺桿泵的排量進行優化設計，得出螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關系。

拉格朗日函數表達式為

式中：λ稱為拉格朗日常數。

式（6）就是對采油單螺桿泵的排量進行優化設計的目標函數。

2.3 設計計算

對式（6）中Dp、ph求偏導數，并且令其等于零。得

由式（7）可以得到λ的表達式為

將式（9）代入式（8）并簡化可得

式（10）即為螺桿泵中定子螺距與定子橡膠外徑及定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關系式。

式（10）經過變形可得

式（11）反映了th／ph與Dp／ph之間的函數關系，繪制成曲線如圖3所示。由圖3可以看出：th／ph與Dp／ph之間呈線性關系，且當Dp／ph取值為0.45時，th／ph等于0；只有當Dp／ph之比取值大于0.45時，th／ph才能大于零。即只有當采油用單螺桿泵中定子橡膠外徑與定子螺距之比＞0.45時，采油用單螺桿泵才具有現實意義。

圖3 th／ph與Dp／ph關系曲線

2.4 螺旋角優化設計

定子螺旋角的計算公式為

式中：Dh為定子橡膠內徑（如圖4所示），mm。

圖4 定子橫截面示意

將式（13）代入式（10）可得

將式（14）代入式（12）可得

即定子的最優螺旋角等于35.26°。

3 結果分析

將式（10）代入式（4）并簡化，可得到采油用單螺桿泵排量的優化設計表達式為

假設Dh和ω是常量，則排量與定轉子頭數比的關系曲線如圖5所示。排量與轉子頭數的關系曲線如圖6所示。

圖5 定子和轉子頭數比與排量關系曲線

圖6 轉子頭數與排量的關系曲線

由圖5～6可以看出：在定子的直徑Dh和轉子的角速度ω保持不變的情況下，隨著螺桿泵的頭數比i的取值逐漸增大，螺桿泵的排量Q 呈現逐漸上升的趨勢，且上升的趨勢逐漸加快；隨著采油單螺桿泵的轉子頭數的取值逐漸增大，螺桿泵的排量Q 也呈現逐漸上升的趨勢，但上升的趨勢逐漸減慢。因此，轉子頭數的取值并不是越大越好，筆者認為在6左右為最佳。

4 結論

1）采用拉格朗日乘數法對采油用單螺桿泵的排量進行優化設計，得出了采油用單螺桿泵的定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關系。

2）在確定采油用單螺桿泵的定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關系的基礎上，得出了定子的最優螺旋角是35.26°。并且得到了采油用單螺桿泵排量的優化設計表達式。

3）得出了采油用單螺桿泵的排量與定轉子頭數比及轉子頭數之間的關系曲線。表明轉子頭數的取值并不是越大越好，認為轉子頭數取6左右為最佳。

［1］Robello Samuel G，Ken J Saveth.Optimal design of Progressing Cavity Pumps［J］.Journal of Energy Resources Technology，2006，128（4）：275－278.

［2］韓國有，宋玉杰，杜秀華，等.采油螺桿泵舉升性能檢測技術［M］.哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2011.

［3］杜秀華，任斌，韓國有.雙頭單螺桿泵的線型設計及虛擬建模［J］.石油礦場機械，2007，36（1）：33－35.

［4］宋玉杰.單螺桿泵螺桿－襯套副型線研究［D］.大慶：大慶石油學院，2008.

［5］韓國有，姜長鑫，杜秀華.普通內擺線型雙頭螺桿泵的建模及運動仿真［J］.石油礦場機械，2011，40（1）：1－4.

［6］Robello Samuel G.Mathematical Modeling and Design Analysis of the Power Section of a Positive Displacement Motor（PDM）［D］.University of Tulsa，1997.