基于相對運動理論的球度誤差矩陣尋優算法

徐永祥，崔昭霞，韓峰，劉珍

（內蒙古工業大學機械學院，內蒙古呼和浩特 010051）

基于相對運動理論的球度誤差矩陣尋優算法

徐永祥，崔昭霞，韓峰，劉珍

（內蒙古工業大學機械學院，內蒙古呼和浩特 010051）

針對目前球度誤差計算多采用復雜尋優算法的現狀，根據球度誤差最小包容區域的特點，給出球度誤差計算的目標函數，提出一種簡化的球度誤差矩陣尋優算法。依據相對運動理論，將擬合球面的球心設定在三維直角坐標系的原點上，利用矩陣變換整體平移被測球面上各測點，使之快速趨近于球度誤差最小包容區域的目標位置。實例證明該方法具有易于使用和快速高效的特點。該思想同樣適用于其他形狀誤差的評定計算，為形狀誤差的統一求解提供一種新思路。

球度誤差；矩陣變換；擬合球面；最小包容區域

0 引言

球面等二次曲面是工業產品的主要組成部分，其形狀誤差將直接影響工件的配合特性與使用效果。根據國際標準ISO1101和國家標準[1]對形狀誤差的定義可知，球度誤差是指被測提取球面對其擬合球面的變動量，擬合球面的位置應符合最小條件[2-3]，即被測提取球面相對其擬合球面的最大變動量為最小，該變動范圍即為球度誤差的最小包容區域。

求解形狀誤差的目標函數是多維非線性的，故無法直接計算[4]。基于形狀誤差目標函數的單谷性證明[5]，采用對擬合要素目標位置的尋優逼近成為計算形狀誤差的最佳選擇。由形狀誤差定義，采取最小包容區域法評定球度誤差時，其值應為包容被測球面的兩同心擬合球面的最小半徑差，則計算球度誤差的主要工作歸結為尋找擬合球面球心的過程[4，6-8]。因擬合包容球面與提取球面相接，則球度誤差的計算公式為

其中，ri為被測提取球面上各測點到擬合球面球心的距離，其計算公式為

式中：xi，yi，zi——第i個測點的坐標；

x0′，y0′，z0′——擬合球面球心坐標。

依據相對運動理論，將以上尋優過程轉化為固定擬合球面而移動被測提取球面使其逐步逼近最小包容區域目標位置的尋優過程。將擬合球面球心設定在加工坐標系原點，使擬合球心與加工中心及測量中心重合，便于實現球度誤差的在線測量，并將球度誤差的計算公式簡化為極徑（測點到坐標原點）的差值。借助矩陣變換公式，可實現被測提取球面上各測點坐標變換的整體計算，從而極大地簡化了計算過程。依此所得各測點最終坐標為加工球面的在線修磨提供了參考，并且該思想同樣適用于其他形狀誤差的計算。

1 球度誤差矩陣尋優算法的數學描述

利用相對運動理論的矩陣尋優法計算球度誤差的過程可簡述如下：

（1）擬合球面位置的設定；

（2）提取球面的數學建模；

（3）提取球面目標位置的尋優逼近；

（4）球度誤差的計算。

由球度誤差定義可知，球度誤差的最小包容區域位置由擬合球面的位置決定，球度誤差值則由提取球上各測點到擬合球面的垂直距離決定，因此擬合球面位置的設定將直接影響尋優的目標位置和球度誤差計算公式的復雜程度。

1.1 擬合球面位置的設定

為與測量坐標系相統一，并簡化球度誤差的計算公式，將球度的擬合球面的球心設定在三維直角坐標系的原點，如圖1所示。

圖1 球度誤差最小包容區域示意圖

使提取球面上各測點構成的剛體沿坐標軸x、y、z方向平移，總能找到球度最小包容區域所在位置，則球度誤差值即為在該位置時各極徑（測點到原點距離）最大值與最小值的代數差。

1.2 提取球面的數學表達

被測提取球面可用三維空間的有限個測點的集合表示為{pi（xi，yi，zi）|i=1，2，…，m}，則其各點坐標的集合可用矩陣表達為

式中：xm，ym，zm——第m個測點的坐標值。

1.3 坐標變換與誤差計算公式

分析球度誤差的最小包容區域可知，通過將實測提取球面上各測點整體沿x軸、y軸及z軸平移，總能找到球度誤差最小包容區域的理想位置。為實現空間坐標矩陣變換公式的統一，采用增加一個維度的齊次坐標矩陣進行計算。設各測點平移后的坐標矩陣為S′，則各測點的坐標變換過程可表達為

平移矩陣；

Δl——平移步長，為正時沿坐標軸正向平移，為負時沿坐標軸負向平移。

由于將球度誤差的擬合球面球心設定在了三維坐標系原點，所以各測點到擬合球面球心的距離由式（2）簡化為

而球度誤差的計算公式仍為式（1）。

此時，ri為由式（5）計算所得的各測點坐標變換后的極徑，其中i＝1，2，…，m。

1.4 尋優過程的實現

雖然球度誤差的最小包容區域唯一存在，但其具體位置不可知，所以矩陣的變換量未知，因此無法直接計算。通過設定矩陣變換的最小步長，使實際提取球面逐步變換以逼近目標位置，從而得到球度誤差的最佳近似值，具體過程描述如下。

圖2 球度誤差計算流程圖

給定一個合適的平移步長Δl，按式（5）和式（1）計算初始位置的球度誤差值δ0，使各測點沿x軸、y軸及z軸以步長Δl逐步平移逼近目標位置，每次平移后按式（5）和式（1）計算新的平面度誤差值δi，i為有效平移次數。當δi＜δi-1時，繼續下一步平移，直到δi＞δi-1時停止，則最后的δi-1即為平面度誤差的最佳逼近值。其流程如圖2所示。

顯然，球度誤差的精度取決于搜索步長的大小，步長越小精度越高。為提高逼近的速度，可設定一個較大的初始步長Δl，利用二分法快速逼近目標位置，停止條件為δi-1-δi＜A，A為設定的球度誤差的最小步進量。

2 計算實例

基于以上數學模型及尋優方法，利用Matlab編制了球度誤差的計算程序。利用該程序對同一組球面測量數據進行了計算，表1為參考文獻[4]的球面測量數據，測點數24個。

表1 球面測量數據

表2為步長初值為1mm時，分別采用4種不同精度要求下對球度誤差的計算結果。程序的運行結果表明，在設定最小誤差步進量的前提下采用步長二分法進行逼近計算，具有極高的效率。

表2 不同步進量下計算結果

需要指出的是，為表明程序搜索過程，表2中結果保留了較多的小數位數。由表1數據計算的球度誤差初值為0.016826mm，由表2搜索結果與初值相比較可以看出，文獻[4]所給數據的測量中心已經非常靠近擬合球心。由測量數據的有效位數可知測量儀器的最小分辨力為0.001mm，根據誤差理論，最終計算結果應與測量數據精度位數相同，并且為保證評定的可靠性，數據舍入規則采取只進不舍的原則，故初始位置的球度誤差可信賴值為0.017mm，與文獻[4]中所給結果相同。表2中不同搜索精度下的球度誤差最終可信賴值均為0.016mm，可見采用本方法計算本組數據時具有極高的效率，有效搜索2步時結果即已達到足夠的精度要求。

同理，用本方法程序對文獻[6]所給測量數據進行計算，最終可信賴結果為0.008mm，與文獻[6]所給結果相同。用本方法程序對文獻[7]所給測量數據進行計算，最終可信賴結果為3.338mm，比文獻[7]中所給結果3.352mm更小。

利用不同測量數據計算的球度誤差結果比較情況如表3所示。

表3 不同測量數據球度誤差計算結果比較

3 結束語

通過將擬合球面球心設定在三維直角坐標系坐標原點，便于實現在線測量并簡化了球度誤差的計算過程；利用相對運動理論通過變換實測點剛體尋找目標位置，實現了數據點的整體矩陣計算，特別適合于Matlab編程實現。實例證明，基于剛體移動的球度誤差計算方法具有簡便、快速、準確的特性，其原理符合球度誤差最小包容區域的幾何定義，易于理解便于實現，并為常見形狀誤差的統一計算提供了一種新的思路。

[1]GB/T 1958—2004產品幾何量技術規范（GPS）形狀和位置公差檢測規定[S].北京：中國標準出版社，2004.

[2]GB/T 1182—1996形狀和位置公差通則、定義、符號和圖樣表示法[S].北京：中國標準出版社，1997.

[3]ISO 1101：2004（E）Geometrical Product Specifications（GPS）-Geometrical tolerancing-Tolerances of form，orientation，location and run-out[S].

[4]廖平.基于遺傳算法的形狀誤差計算研究[D].長沙：中南大學，2002.

[5]鄭鵬，張林娜.形狀誤差目標函數單谷性的分析與研究[J].計量與測試技術，2007，34（11）：16-18.

[6]溫秀蘭.進化計算應用計量測試技術的理論研究[D].南京：東南大學，2004.

[7]崔長彩，東仁生，葉東，等.基于遺傳算法的球度誤差評定[J].光學精密工程，2002，10（4）：333-339.

[8]Cui C C，Fu S W，Huang F G.Research on the uncertainties from different form error evaluation methods by CMM sampling[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43（8）：136-145.

M atrix optim ization method for calculating sphericity error base on relative motion theory

XU Yong-xiang，CUI Zhao-xia，HAN Feng，LIU Zhen
（Mechanical College，Inner Mongolia University of Technology，Huhhot 010051，China）

For resolving the problem that the sphericity errors are calculated mostly with complex optimization algorithms，a simplified matrix optimization method for calculating the sphericity error was proposed.Its objective function of calculating the sphericity error was given according to the features of sphericity error minimum zone.According to the relative motion theory，firstly，the center of fitting sphere was set on the coordinate origin of 3D rectangular coordinates.Then，all measuring points on the sphere to be measured were translated through appropriate matrix transformations.At last，the algorithm makes it rapidly tend to the objective location of sphericity error minimum zone.It is proved by actual measurements that the method is simple and efficient. This method also can be used to calculate other form errors and it provides a new and unified way for calculating form errors.

sphericity error；matrix transformation；fitting sphere；minimum zone

TG8；TB92；TH161+.12；TM930.115

A

1674-5124（2013）03-0017-03

2012-05-10；

：2012-07-08

內蒙古自治區科技攻關計劃項目（20091505）

徐永祥（1972-），男，內蒙古呼和浩特市人，講師，碩士，研究方向為計量檢測與誤差分析。