一致有界原理的另一種證法

牛瀟萌

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

一致有界原理的另一種證法

牛瀟萌

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文用反證法給出一致有界原理的一個(gè)沒有利用Baire綱定理任何其他形式去推導(dǎo)的證明.

賦范空間；一致有界原理；反證法

Banach空間是泛函分析中最基本，最重要的空間，它對泛函分析的意義，恰如Euclid空間對于數(shù)學(xué)分析的意義.一致有界原理是Banach空間中的一個(gè)重要定理，例如它在許多分析問題的研究涉及有界線性算子列的收斂性或一致有界問題上起重要作用.

1 已有證明方法

一般來說，在泛函分析教材中，一致有界原理是直接從Baire綱定理推導(dǎo)出來的.在文獻(xiàn)[1]中利用Zabreǐko引理給出了一致有界原理的又一種證明方法.

定義1[1]向量空間X上的半范數(shù)或準(zhǔn)范數(shù)是X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)p，使得對X的所有元素x和y以及每一個(gè)純量都滿足下列條件∶

(1)p(αx)=|a|p(x)；

(2)p(x+y)≤p(x)+p(y)；

定義2[1]從賦范空間X到非負(fù)實(shí)數(shù)集中的函數(shù)f，稱為是可數(shù)次可加的，如果對X中的每一個(gè)收斂級數(shù)∑nxn，有

定理1[1](Zabreǐko引理)Banach空間上的每一個(gè)可數(shù)次可加的半范數(shù)都是連續(xù)的.

下面利用Zabreǐko引理給出了一致有界原理的證明.

定理2[1]（一致有界原理）假設(shè)X是Banach空間，Y是賦范空間.Ψ={T∶T∈B(X,Y)}滿足條件

證明對每個(gè)x∈X，令p(x)=sup{||Tx||∶T∈Ψ}，并假設(shè)p是有限值的.

下面證明p就是X上的一個(gè)可數(shù)次可加的半范數(shù).

顯然，對每一個(gè)x∈X和每一個(gè)α∈F，有p(αx)=|α|p(x).

2 反證法證明一致有界原理

一致有界原理假設(shè)X是Banach空間，Y是賦范空間. Ψ={T∶T∈B(X,Y)}滿足條件

對于上述的xn有是有限數(shù).由于Banach空間中絕對收斂級數(shù)是收斂的，因此則x就是所要找的.這是因?yàn)椋?/p>

〔1〕Robert E.Megginson,An Introduction to Banach Space Theory[M].1998.Springer-Verlag,New york，41：47,49：58.

〔2〕劉炳初.泛函分析[M].北京：科學(xué)出版社,2007.

〔3〕劉培徳.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2001.

〔4〕羅躍生，杜維華.簡明泛函分析[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社,2002.

O177

A

1673-260X（2013）01-0010-02