分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算

2013-07-12 18:56:00任偉和李曉輝

石家莊理工職業(yè)學(xué)院學(xué)術(shù)研究 2013年4期

任偉和，李曉輝

（石家莊理工職業(yè)學(xué)院，河北石家莊050228）

高教論摘(4則)

分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算

任偉和，李曉輝

（石家莊理工職業(yè)學(xué)院，河北石家莊050228）

本文主要講述了分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算，并通過(guò)具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在極限與連續(xù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性、不定積分、定積分等方面的應(yīng)用.解決了在討論分段函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、不定積分及定積分時(shí),為什么要在分段函數(shù)的分界點(diǎn)處進(jìn)行討論以及怎樣討論的問(wèn)題。

分段函數(shù)；可導(dǎo)；不定積分；定積分

1 引言

在微積分中，涉及較多的函數(shù)除了初等函數(shù)外，還有分段函數(shù).大多數(shù)有關(guān)分段函數(shù)的問(wèn)題，初學(xué)者都感覺(jué)不太好處理.因此，本文通過(guò)具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在連續(xù)性、可導(dǎo)性以及積分中的計(jì)算。

2 分段函數(shù)的連續(xù)性

2.1 函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性

例1討論函數(shù)

綜上，

2.2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

分析：開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)是指內(nèi)部每一點(diǎn)處均連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)指的是內(nèi)部點(diǎn)連續(xù)，左端點(diǎn)處右連續(xù)，右端點(diǎn)處左連續(xù).

3 分段函數(shù)可導(dǎo)性

用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

(2)對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法，先求出左右導(dǎo)數(shù)，如果左右導(dǎo)數(shù)相同，則分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值存在.

若分段函數(shù)在各開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，就用初等函數(shù)求導(dǎo)的方法分別求出它在各開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，而在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性的討論則要特別注意：①若函數(shù)在處不連續(xù)，則它在處不可導(dǎo)；②若函數(shù)在處連續(xù)，則它必須用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)在是否可導(dǎo)，若可導(dǎo)，則可進(jìn)一步得到它在的導(dǎo)數(shù).