基于映射函數收縮算法的圖像去噪方法

吳 軍，李會方，王正民

（1.西北工業大學 陜西 西安 710129；2.中國兵器工業第203研究所 陜西 西安 710065）

圖像是人們獲取信息的一種極為重要的信息源之一，在拍攝、采樣、量化、保存以及傳輸圖像的過程中，不可避兔地受到噪聲干擾，導致轉換后得到的數字圖像質量下降，給圖像處理和分析帶來不必要影響，極大地妨礙了人們對圖像內容的理解[1]。因此在對圖像進行分析之前，必須進行去噪預處理，以改善圖像質量并盡可能地保留圖像信息特征。使得圖像更加真實地再現目標場景。但是如何兼顧降低噪聲和保留細節仍然是一個難題[2]。

圖像噪聲按其來源可分為加性噪聲、乘性噪聲、量化噪聲、椒鹽噪聲等類型，實際圖像數據中所含噪聲是各種噪聲的混合。長期以來，人們根據圖像的特點以及噪聲的統計特征和頻譜分布的規律，提出了許多去噪方法。中值濾波、空域濾波器、維納濾波以及變換域去噪等都是非常有效的去噪方法，它們對不同的噪聲有不同的去噪能力。中值濾波能有效地抑制脈沖和椒鹽噪聲，但它對于圖像中高斯噪聲的去除效果不佳。空域濾波器作為一種傳統方法具有適應范圍廣、速度快、運算代價低等特點，但模糊了圖像邊緣和紋理等細節信息。維納濾波對高斯噪聲和乘性噪聲都有較好的抑制作用，但缺點是仍然是容易失去圖像的邊緣信息[3]。小波去噪是變換域去噪的典型方法，其基本方法是對含噪圖像進行多尺度小波變換，通過選擇合理閾值，在各尺度下盡可能提取有用圖像的小波系數，去除屬于噪聲的小波系數，再用小波逆變換重構圖像。但硬閾值濾波容易在圖像的邊緣處產生突變，而軟閾值收縮函數有時會使圖像過于平滑的問題[4-6]。

近年來，稀疏表示己成為一個新的研究熱點。它在與信號結構匹配方面具有很好的靈活性，并具有超分辨、去除噪聲和表達信號靈活等優點，在譜估計、信號分析、目標特征提取、圖像壓縮等方面得到了廣泛的應用[7]。本文結合小波變換和稀疏表示方法，提出一種基于圖像稀疏性與冗余表達模型的映射函數收縮去噪方法。將圖像有用信息部分作為圖像中稀疏成分，而將圖像中的噪聲作為圖像（去除其中稀疏成分后得到）殘差，以此作為圖像去噪處理的基礎。相對于傳統的去噪算法，去除噪聲效果更為理想。

1 映射函數收縮算法

噪聲圖像的形成模型可表示為：

其中x為原圖像，n為噪聲模型，y為帶噪聲圖像。對式（1）兩邊進行小波變換：

式中Cy、Cx、Cn分別表示觀測圖像y原始圖像x和噪聲n的小波變換，則

由式（3）可以看出，如果知道噪聲小波變換Cn，那么就可以很輕松得由Cy得到Cx，并求得原始信號x。但是很明顯，對于去噪Cn的求解是個很復雜的問題。

為了簡化模型，將觀測信號與原始信號之間的變換過程用一個映射函數（Map Functions）M{·}來描述[8-9]：

式（4）表示觀測信號通過某種變換M{·}，得到了不含噪聲的原始信號。

1.1 問題規劃

由前面的分析可知，圖像的去噪過程可用一個映射函數描述，為了簡化對這個映射函數的學習過程，可以將這個映射函數分解為一組多尺度的映射函數 （MFs：Map Functions）{Mk，k=1， …，K}，Mk為小波子帶系數，K 是小波分解的子帶數。對于信號y，其小波變換為：

式中，W=[B1，…，BK]T為小波變換函數，Bk（k=1，…，K）為小波子帶變換。 其 α=[α1，…，αK]為小波變換系數，αk（k=1，…，K）為其對應Bk的小波變換系數。由式（5）可得，映射函數為：

簡而言之，這個映射變換M{·}被劃分成了K個映射函數，K由小波變換的子帶個數來決定。

由此可見，圖像去噪問題久轉換為一個尋找變換M{·}過程，將這個變換作用于觀測圖像，可以使觀測圖像盡可能的逼近于不含噪聲的原始圖像，也就是完成了去噪的過程。其數學模型可以表示為：

由式（8）將圖像去噪問題轉換成了求最優值的問題。

1.2 算法求解

對于（8）提出的最優化問題，可以使用切片變換（Slice Transform，SLT）來解決這個問題。切片變換可將一個非線性的問題轉化為一個分段線性問題。通過SLT可將（8）式變換為：

問題轉換成了經典的最小方差問題，其解為：

整個算法流程如下：

1）對觀測圖像進行小波變換，獲得K個小波子帶系數：α1，…，αK；

2）用 Lloyd-Max 算法，確定 M+1 維向量 qk；k=1，…，K

3）對于每個子帶：

①計算 SLT 矩陣 Ck=Sqk（αk），Ck∈RNk×（M+1），Nk=length（αk）；

②將每個 Ck拉直為 Ck（：，m），m=1，…，M+1。 求其逆：

4）將 zk，m按列排列，組合成 n×K（M+1）維矩陣 L；

5）通過式（9）求出 p*。 這是一個 K（M+1）維的向量，將其劃分為 K 個向量，p*1，…，p*K，每個子向量為（M+1）維。

這樣就完成了對映射函數的學習問題。

1.3 圖像去噪

不同于小波收縮算法，MFs算法更偏向于稀疏表示的去噪算法，主要工作在于學習字典。MFs算法則是學習一個變換函數，變換函數學習出來去噪過程就變得很簡單了。具體去噪步驟如下：

1）對于訓練樣本，使用1.2中算法，求得變換函數M；

2）由式（5）可知，求解 WT[M（Wy）]即為去噪后圖像，其中W為小波變換，y為測試樣本。

2 實 驗

本文分3個實驗分別驗證MFs算法的可行性，與其他算法對比的優越性和自身算法的魯棒性。實驗訓練樣本均為加入噪聲強度λ=20的高斯噪聲的Lena512×512灰度圖像。

2.1 驗證可行性

使用測試樣本為Lena256×256的灰度圖像，加入噪聲強度λ=20的高斯噪聲。實驗結果如圖1所示。

容易看出，經過MFs算法去噪后，圖像的輪廓和較明顯的細節都被保留下來，直觀上有效地去除了圖像噪聲。

2.2 對比經典小波去噪，經典稀疏表示去噪和MFs去噪算法

為了進一步說明本文所提出算法的有效性，采用峰值信噪比（peak signal noise ratio，PSNR）和均方誤差（mean square error，MSE）作為評價指標。設輸入測試圖像為Lena灰度圖像，大小為512×512像素，人為加入λ=20的高斯噪聲，小波去噪采用文獻[9]中方法，SRC方法采用文獻[10]中方法，對比幾種方法所得輸出信號均方誤差和峰值信噪比如表1所示。

圖1 加噪圖像和去噪后圖像對比Fig.1 Noisy image compared with denoised image

表1 3種方法的去噪結果對比Tab.1 Three methods of denoising results contrast

其中IMPROVE表示去噪后圖像性噪比的提高。由表1可以看出，本文算法與前面兩種算法相比較，均方誤差（MSE）較小，峰值性噪比（PSNR）最大，且性噪比提高最多。說明本文算法具有較優越的去噪性能。

2.3 當改變噪聲強度時，本文算法的魯棒性測試

為了驗證算法在不同噪聲強度下的魯棒性，分別對測試圖像加入λ=10、λ=20、λ=30的高斯噪聲，實驗結果如表2所示。

表2 不同噪聲強度下的去噪結果對比Tab.2 Denoising results compared under different noise intensity

表2顯示，隨著所加入噪聲強度的增加，去噪后圖像的峰值性噪比（PSNR）有所下降，但是下降趨勢較緩，當加入噪聲強度λ=30的高斯噪聲時，峰值性噪比仍與表1中用SRC方法對噪聲強度λ=20的圖像進行去噪后的結果相當，可見本文算法具有一定的魯棒性。

3 結束語

可以看出，本文算法是一種魯棒性較強的圖像去噪方法，且對于同種噪聲，去噪效果好于小波方法和SRC方法，最大的優點在于映射函數的提出，擺脫的求解最大后驗概率的困境，只需要對學習樣本進行學習就可以應用到測試樣本之中，但是當測試樣本的復雜性高于學習樣本時，本文算法的效果往往較差，所以學習樣本的選擇問題依然是一個值得探討的問題。

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