論中心極限定理及應用

王偉珠

（遼寧對外經貿學院 基礎課教研部，遼寧 大連 116052）

論中心極限定理及應用

王偉珠

（遼寧對外經貿學院 基礎課教研部，遼寧 大連 116052）

中心極限定理是DeMoivre在18世紀首先提出的，定理在很一般的條件下證明了無論隨機變量Xi(i=1,2…)服從什么分布，n個隨機變量的和當n→∞時的極限分布是正態分布.本文僅介紹其中兩個最基本的結論并舉例應用.

中心極限定理；結論；應用

在實際問題中,許多隨機現象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成,其中每一個因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機變量一般都服從或近似服從正態分布.以一門大炮的射程為例,影響大炮的射程的隨機因素包括:大炮炮身結構的制造導致的誤差,炮彈及炮彈內炸藥在質量上的誤差,瞄準時的誤差,受風速、風向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的,并且可以看成是相互獨立的,人們關心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.

中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題,其結論表明:當一個量受許多隨機因素(主導因素除外)的共同影響而隨機取值,則它的分布就近似服從正態分布.而正態分布有許多完美的理論，從而可以獲得即實用又簡單的統計分析結果.本文僅介紹其中兩個最基本的結論，并通過舉例加以應用.

1 Lindeberg—Levy定理

定理1(Lindeberg—Levy定理)設X1,X2,…,Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列,且

則對任意實數x，有

注1:該定理表明:當n充分大時,n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態分布.雖然在一般情況下,我們很難求出X1+X2+…+Xn的分布的確切形式,但當n很大時,可求出其近似分布.由定理結論有

故定理又可表述為:均值為μ,方差為σ2>0的獨立同分布的隨機變量X1，X2，…，Xn的算術平均值,當、充分大時近似地服從均值為μ,方差為σ2/2的正態分布.這一結果是數理統計中大樣本統計推斷的理論基礎.

2 棣莫佛—拉普拉斯定理

定理2（棣莫弗—拉普拉斯定理） 設隨機變量Yn服從參數n,p(0

注2:易見，棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理就是Lindeberg—Levy中心極限定理的一個特殊情況.

注3:中心極限定理存在的條件整理為如下幾個關鍵詞：獨立、同分布、數學期望與方差存在；當隨機變量序列滿足中心極限定理時，難點是求解隨機變量和函數的數學期望和方差，進而進行標準化就可以得到近似服從標準正態分布.

3 應用舉例

例1 一盒同型號螺絲釘共有100個,已知該型號的螺絲釘的重量是一個隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘的重量超過10.2 kg的概率.

解 設Xi為第i個螺絲釘的重量,i=1,2,…,100.且它們之間獨立同分布,于是一盒螺絲釘的重量為X=且由，知

E(X)=100×E(Xi)=10000，由中心極限定理有

例2 計算機在進行數學計算時,遵從四舍五入原則.為簡單計,現在對小數點后面第一位進行舍入運算,則誤差X可以認為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項計算中進行了100次數字計算,求平均誤差落在區間/20]上的概率.

解 n=100,用Xi表示第i次運算中產生的誤差.X1,X2,…,X100相互獨立,都服從[-0.5,0.5]上的均勻分布,且E(Xi)=0,D (Xi)=1/1 2,i=1,2,…,100,從而,近似地有

例3 某車間有200臺車床,在生產期間由于需要檢修、調換刀具、變換位置及調換工作等常需停車.設開工率為0.6,并設每臺車床的工作是獨立的,且在開工時需電力1千瓦.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產?

解 對每臺車床的觀察作為一次試驗,每次試驗觀察一臺車床在某時刻是否工作,工作的概率為0.6,共進行200次試驗.用X表示在某時刻工作著的車床數,依題意,有

現在的問題是:求滿足P{X≤N}≥0.999的最小的N.

例4 某市保險公司開辦一年人身保險業務,被保險人每年需交付保險費160元,若一年內發生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人員一年內發生重大人身事故的概率為0.005,現有5000人參加此項保險,問保險公司一年內從此項業務所得到的總收益在20萬到40萬元之間的概率是多少?

于是Xi均服從參數為p=0.005的兩點分布,且p{Xi=1}=0.005，np=是5000個被保險人中一年內發生重大人身事故的人數,保險公司一年內從此項業務所得到的總收益為0.016×5000-2×萬元.于是

例5 對于一個學校而言,來參加家長會的家長人數是一個隨機變量,設一個學生無家長,1名家長,2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數相互獨立,且服從同一分布,求參加會議的家長數X超過450的概率.

解 以Xk(k=1,2,…,400)記第k個學生來參加會議的家長數,則Xk的分布律為

Xk 0 1 2 Pk 0.05 0.8 0.15

易知E(Xk)=1.1,D(Xk)=0.19,k=1,2,…,400,而X,由定理1,隨機變量

例6 設有1000人獨立行動,每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計,在一次行動中,至少有多少人能夠進入掩蔽體.

解 用Xi表示第i人能夠按時進入掩蔽體,令Sn=X1+X2+…+X1000.設至少有m人能進入掩蔽體,則要求

m=900-15.65=884.35≈884人.

中心極限定理的應用很多，能解決更多的實際問題,有待于我們進一步的探討.

〔1〕吳贛昌.概率論與數理統計（經管類·第三版）．中國人民大學出版社，2009.

〔2〕全國碩士研究生入學統一考試輔導用書編委會.數學考試參考書，高等教育出版社.

O211.9

A

1673-260 X（2013）10-0001-02